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【例3】如图24.2.2 - 19，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB。则∠B的度数为
思考1：因为AM切⊙O于点A，则由切线的性质可以得到什么？
思考2：∠OCB与∠AOC的数量关系是什么？∠OCB与∠B的数量关系是什么？
60°
。思考1：因为AM切⊙O于点A，则由切线的性质可以得到什么？
思考2：∠OCB与∠AOC的数量关系是什么？∠OCB与∠B的数量关系是什么？
答案
思考1:OA⊥AM. 思考2:∠OCB=∠AOC.∠OCB=∠B. 解析:因为AM是⊙O的切线，所以OA⊥AM,所以∠OAM=90°. 又因为BD⊥AM,所以∠BDM=90°,所以∠OAM=∠BDM.所以AO//BD.所以∠AOC=∠BCO,∠AOB+∠B=180°. 又因为OB=OC,OC是∠AOB的平分线，所以∠B=∠BCO,∠BOC=∠AOC, 所以∠BOC=∠BCO=∠B. 所以∠B=60°. 答案:60°
解析
解：
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴∠OAM=90°，
∵BD⊥AM，
∴∠BDM=90°，
∴∠OAM=∠BDM，
∴AO//BD，
∴∠AOC=∠BCO，∠AOB+∠B=180°，
∵OB=OC，OC平分∠AOB，
∴∠B=∠BCO，∠BOC=∠AOC，
∴∠BOC=∠BCO=∠B，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠B=60°．
60°
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴∠OAM=90°，
∵BD⊥AM，
∴∠BDM=90°，
∴∠OAM=∠BDM，
∴AO//BD，
∴∠AOC=∠BCO，∠AOB+∠B=180°，
∵OB=OC，OC平分∠AOB，
∴∠B=∠BCO，∠BOC=∠AOC，
∴∠BOC=∠BCO=∠B，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠B=60°．
60°
3. (四川自贡中考)如图24.2.2 - 20，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P = 40°，则∠B等于(
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
B
)A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
答案
3.B
解析
证明：
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°．
∵∠P=40°，
∴∠AOP=180°-∠OAP-∠P=180°-90°-40°=50°．
∵∠B与∠AOP分别是弧AC所对的圆周角和圆心角，
∴∠B=1/2∠AOP=1/2×50°=25°．
答案：B
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°．
∵∠P=40°，
∴∠AOP=180°-∠OAP-∠P=180°-90°-40°=50°．
∵∠B与∠AOP分别是弧AC所对的圆周角和圆心角，
∴∠B=1/2∠AOP=1/2×50°=25°．
答案：B
1. 如图24.2.2 - 21，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO = CD，则∠PCA =(
A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°
D
)A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°
答案
1.D
解析
证明：
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD=90°。
∵CO=CD，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠COD=45°。
∵OA=OC，
∴△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA。
∵∠COD是△AOC的外角，
∴∠COD=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，
∴∠OCA=∠COD/2=45°/2=22.5°。
∵∠OCD=90°，
∴∠PCA=∠OCD-∠OCA=90°-22.5°=67.5°。
答案：D
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD=90°。
∵CO=CD，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠COD=45°。
∵OA=OC，
∴△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA。
∵∠COD是△AOC的外角，
∴∠COD=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，
∴∠OCA=∠COD/2=45°/2=22.5°。
∵∠OCD=90°，
∴∠PCA=∠OCD-∠OCA=90°-22.5°=67.5°。
答案：D
2. (浙江杭州中考)如图24.2.2 - 22，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT = 40°，则∠ATB =
50°
。答案
2.50°
解析
解：
∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=180°-∠BAT-∠ABT=180°-90°-40°=50°。
50°
∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=180°-∠BAT-∠ABT=180°-90°-40°=50°。
50°
3. （湖南衡阳中考节选）如图24.2.2 - 23，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线。
答案
3.证明:连接OC(图略),则OB=OC， 所以∠OBC=∠OCB. 因为AB是⊙O的直径, 所以∠ACB=90°,即△BCD是直角三角形, 又因为点E是BD的中点, 所以CE=$\frac{1}{2}$BD=BE, 所以∠BCE=∠CBE, 所以∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBE=∠ABD=90°, 所以∠OCE=90°,即OC⊥CE, 所以CE是⊙O的切线.
解析
证明：连接$OC$，则$OB = OC$，所以$\angle OBC=\angle OCB$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90°$，即$\triangle BCD$是直角三角形。
又因为点$E$是$BD$的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BD = BE$，所以$\angle BCE=\angle CBE$。
所以$\angle OCB+\angle BCE=\angle OBC+\angle CBE=\angle ABD$。
因为$BD\perp AB$，所以$\angle ABD = 90°$，则$\angle OCE=90°$，即$OC\perp CE$。
所以$CE$是$\odot O$的切线。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90°$，即$\triangle BCD$是直角三角形。
又因为点$E$是$BD$的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BD = BE$，所以$\angle BCE=\angle CBE$。
所以$\angle OCB+\angle BCE=\angle OBC+\angle CBE=\angle ABD$。
因为$BD\perp AB$，所以$\angle ABD = 90°$，则$\angle OCE=90°$，即$OC\perp CE$。
所以$CE$是$\odot O$的切线。
1. 如图24.2.2 - 24，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B，已知∠A = 30°，则∠C的大小是(
A.30°
B.45°
C.60°
D.40°
A
)A.30°
B.45°
C.60°
D.40°
答案
1.A
解析
证明：连接OB。
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵∠A=30°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-30°-90°=60°。
∵AC经过圆心O，
∴∠AOB是△OBC的外角。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴∠OBC=∠C。
∵∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
∴∠C=∠AOB/2=60°/2=30°。
A
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵∠A=30°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-30°-90°=60°。
∵AC经过圆心O，
∴∠AOB是△OBC的外角。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴∠OBC=∠C。
∵∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
∴∠C=∠AOB/2=60°/2=30°。
A
