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5. 一天晚上，王伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电了，王伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
1. 首先分析搭配的总情况数：
设三个茶杯分别为$A$、$B$、$C$，其中$C$无盖，杯盖为$a$、$b$。
那么搭配的所有可能情况有：$(Aa,Bb)$、$(Ab,Ba)$，共$2$种情况（因为$C$无盖不需要考虑它与盖的搭配，只考虑$A$、$B$两个茶杯与$a$、$b$两个杯盖的搭配）。
2. 然后分析花色完全搭配正确的情况数：
花色完全搭配正确的情况只有$1$种，即$(Aa,Bb)$。
3. 最后根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总情况数，$m$是事件$A$发生的情况数）：
这里$n = 2$，$m = 1$，所以花色完全搭配正确的概率$P=\frac{1}{2}$。
故答案为$\frac{1}{2}$。
（注：原答案$\frac{1}{6}$是错误的，若按照三个茶杯三个盖（其中一个盖不用）的错误思路，用排列组合$A_{2}^2=\frac{2!}{(2 - 2)!}=2$（$n$个不同元素全排列$A_{n}^n=\frac{n!}{(n - n)!}=n!$，这里$n = 2$），正确情况$1$种，也应该是$\frac{1}{2}$；若按照三个茶杯两个盖（一个无盖），用列举法也可得出$\frac{1}{2}$）。
设三个茶杯分别为$A$、$B$、$C$，其中$C$无盖，杯盖为$a$、$b$。
那么搭配的所有可能情况有：$(Aa,Bb)$、$(Ab,Ba)$，共$2$种情况（因为$C$无盖不需要考虑它与盖的搭配，只考虑$A$、$B$两个茶杯与$a$、$b$两个杯盖的搭配）。
2. 然后分析花色完全搭配正确的情况数：
花色完全搭配正确的情况只有$1$种，即$(Aa,Bb)$。
3. 最后根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总情况数，$m$是事件$A$发生的情况数）：
这里$n = 2$，$m = 1$，所以花色完全搭配正确的概率$P=\frac{1}{2}$。
故答案为$\frac{1}{2}$。
（注：原答案$\frac{1}{6}$是错误的，若按照三个茶杯三个盖（其中一个盖不用）的错误思路，用排列组合$A_{2}^2=\frac{2!}{(2 - 2)!}=2$（$n$个不同元素全排列$A_{n}^n=\frac{n!}{(n - n)!}=n!$，这里$n = 2$），正确情况$1$种，也应该是$\frac{1}{2}$；若按照三个茶杯两个盖（一个无盖），用列举法也可得出$\frac{1}{2}$）。
6. 从五个数字 $ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $ 中随机一次性抽取两个，抽出的数字恰好是两个连续整数的概率是
$\frac{2}{5}$
.答案
6.$\frac{2}{5}$
解析
从五个数字$1$，$2$，$3$，$4$，$5$中随机一次性抽取两个，所有可能的结果有：$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(1,5)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(2,5)$，$(3,4)$，$(3,5)$，$(4,5)$，共$10$种。
其中恰好是两个连续整数的结果有：$(1,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$，$(4,5)$，共$4$种。
所以概率$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
其中恰好是两个连续整数的结果有：$(1,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$，$(4,5)$，共$4$种。
所以概率$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
7. 在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的 $ 4 $ 张扑克牌（如图 $ 25.2 - 2 $ 所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机一次性抽取 $ 2 $ 张牌.
(1) 求抽取的 $ 2 $ 张牌的数字之和为偶数的概率；
(2) 求抽取的 $ 2 $ 张牌都不是中心对称图形的概率.
(1) 求抽取的 $ 2 $ 张牌的数字之和为偶数的概率；
(2) 求抽取的 $ 2 $ 张牌都不是中心对称图形的概率.
答案
1. 首先，计算从$4$张牌中随机一次性抽取$2$张牌的所有可能情况：
根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$，$k = 2$，则$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4×3×2!}{2!×2!}=\frac{4×3}{2×1}=6$种。也可以用列举法：设$4$张牌分别为$A(3)$、$B(4)$、$C(5)$、$D(6)$，则所有可能的组合为$(A,B)$、$(A,C)$、$(A,D)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(C,D)$。
2. （1）求抽取的$2$张牌的数字之和为偶数的概率：
设两数分别为$x$，$y$，根据两数和的奇偶性：$x + y$为偶数，当且仅当$x$，$y$同为奇数或同为偶数。
数字$3$、$5$是奇数，$4$、$6$是偶数。
同为奇数的组合：$(3,5)$；同为偶数的组合：$(4,6)$，共$2$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$包含的基本事件数），这里$n = 6$，$m = 2$，所以$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
3. （2）求抽取的$2$张牌都不是中心对称图形的概率：
中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
数字$3$、$5$不是中心对称图形，数字$4$、$6$是中心对称图形。
都不是中心对称图形的组合只有$(3,5)$这$1$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，这里$n = 6$，$m = 1$，所以$P=\frac{1}{6}$。
综上，（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{1}{6}$。
根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$，$k = 2$，则$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4×3×2!}{2!×2!}=\frac{4×3}{2×1}=6$种。也可以用列举法：设$4$张牌分别为$A(3)$、$B(4)$、$C(5)$、$D(6)$，则所有可能的组合为$(A,B)$、$(A,C)$、$(A,D)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(C,D)$。
2. （1）求抽取的$2$张牌的数字之和为偶数的概率：
设两数分别为$x$，$y$，根据两数和的奇偶性：$x + y$为偶数，当且仅当$x$，$y$同为奇数或同为偶数。
数字$3$、$5$是奇数，$4$、$6$是偶数。
同为奇数的组合：$(3,5)$；同为偶数的组合：$(4,6)$，共$2$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$包含的基本事件数），这里$n = 6$，$m = 2$，所以$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
3. （2）求抽取的$2$张牌都不是中心对称图形的概率：
中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
数字$3$、$5$不是中心对称图形，数字$4$、$6$是中心对称图形。
都不是中心对称图形的组合只有$(3,5)$这$1$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，这里$n = 6$，$m = 1$，所以$P=\frac{1}{6}$。
综上，（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{1}{6}$。
8. 现有三张反面朝上的扑克牌：红桃 $ 2 $、红桃 $ 3 $、黑桃 $ x(1 \leq x \leq 13 $，且 $ x $ 为整数). 把牌洗匀后第一次抽一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张.
(1) 求两次抽得相同花色的概率；
(2) 当甲选择 $ x $ 为奇数，乙选择 $ x $ 为偶数时，他们两次抽得数字和是奇数的可能性大小一样吗？
(提示：三张扑克牌可以分别简记为红 $ 2 $、红 $ 3 $、黑 $ x $)
(1) 求两次抽得相同花色的概率；
(2) 当甲选择 $ x $ 为奇数，乙选择 $ x $ 为偶数时，他们两次抽得数字和是奇数的可能性大小一样吗？
(提示：三张扑克牌可以分别简记为红 $ 2 $、红 $ 3 $、黑 $ x $)
答案
8. 解:
(1)P(两次抽得相同花色)=$\frac{5}{9}$.
(2)甲、乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大,均为$\frac{4}{9}$.
(1)P(两次抽得相同花色)=$\frac{5}{9}$.
(2)甲、乙两次抽得数字和是奇数的可能性一样大,均为$\frac{4}{9}$.
