8. 二次函数 $ y= a(x+m)^{2}+n $ 的图象如图,则一次函数 $ y= mx+n $ 的图象经过()

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

【解析】：由二次函数$y=a(x+m)^2 + n$的图象开口向上，得$a＞0$；顶点在第四象限，顶点坐标为$(-m,n)$，则$-m＞0$，$n＜0$，即$m＜0$，$n＜0$。一次函数$y=mx + n$中，$m＜0$，$n＜0$，所以图象经过第二、三、四象限。
【答案】：C

9. 某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1m的喷水管喷出的水柱图象如图所示,喷水最大高度为3m,此时喷水水平距离为 $ \frac{1}{2} $ m.在如图所示的直角坐标系中,喷出的水柱的函数表达式是()

A.$ y= -(x-\frac{1}{2})^{2}+3 $
B.$ y= 3(x-\frac{1}{2})^{2}+1 $
C.$ y= -8(x-\frac{1}{2})^{2}+3 $
D.$ y= -8(x+\frac{1}{2})^{2}+3 $

C

由题意，设水柱函数表达式为$y=a(x-\frac{1}{2})^{2}+3$。
因为喷水管高度为$1m$，即当$x=0$时，$y=1$，代入得：
$1=a(0-\frac{1}{2})^{2}+3$
$1=a(\frac{1}{4})+3$
$\frac{1}{4}a=1 - 3$
$\frac{1}{4}a=-2$
$a=-8$
所以函数表达式为$y=-8(x-\frac{1}{2})^{2}+3$。
C

10. 二次函数 $ y= -(x-2)^{2}+\frac{9}{4} $ 的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有个.

7

令$y=0$，则$-(x - 2)^2+\frac{9}{4}=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{7}{2}$。
函数图象开口向下，顶点坐标为$(2,\frac{9}{4})$。
$x$的整数取值为1，2，3。
当$x=1$时，$y=-(1 - 2)^2+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$，$y$的整数取值为0，1，共2个点：$(1,0)$，$(1,1)$；
当$x=2$时，$y=\frac{9}{4}$，$y$的整数取值为0，1，2，共3个点：$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$；
当$x=3$时，$y=-(3 - 2)^2+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$，$y$的整数取值为0，1，共2个点：$(3,0)$，$(3,1)$。
综上，共有$2 + 3+2=7$个点。
7

11. 如图,抛物线 $ y= ax^{2}+c $ 经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为.

-2

设抛物线$y = ax^2 + c$，其对称轴为y轴（x=0），故抛物线上的点A、C关于y轴对称。设$A(m,n)$，则$C(-m,n)$，点B在y轴上，故$B(0,c)$（抛物线顶点）。
因OABC为正方形，O为原点$(0,0)$，则$OA=AB$且$OA\perp AB$。$OA$向量$(m,n)$，$AB$向量$(-m,c - n)$。由$OA=AB$得$\sqrt{m^2 + n^2}=\sqrt{m^2+(c - n)^2}$，化简得$c = 2n$；由$OA\perp AB$得$m(-m)+n(c - n)=0$，结合$c = 2n$得$n^2 = m^2$，即$m = n=\frac{c}{2}$。
将$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入抛物线方程：$\frac{c}{2}=a(\frac{c}{2})^2 + c$，化简得$-\frac{c}{2}=a\cdot\frac{c^2}{4}$，两边同乘$\frac{4}{c}(c\neq0)$得$ac=-2$。

12. 已知抛物线 $ y= 8(x+3+m)^{2}+7-n $(m,n为常数)以y轴为对称轴,且过点(2,3),求m,n的值.

因为抛物线以y轴为对称轴，所以抛物线的顶点横坐标为0。对于抛物线$y = 8(x + 3 + m)^2 + 7 - n$，其顶点横坐标为$-(3 + m)$，则$-(3 + m)=0$，解得$m=-3$。
此时抛物线方程为$y = 8x^2 + 7 - n$。因为抛物线过点$(2,3)$，将$x=2$，$y=3$代入得：$3 = 8×2^2 + 7 - n$，即$3 = 32 + 7 - n$，$3 = 39 - n$，解得$n=36$。
综上，$m=-3$，$n=36$。