例 2 有理数$a,b$在数轴上的对应点如图所示,则下面式子中正确的是()
①$b ＜ 0 ＜ a$；②$\vert b \vert ＜ \vert a \vert$；③$- b + a ＞ 0$；④$a - b ＜ a + b$.



A.①②
B.①④
C.①③
D.③④
名师导引 先通过数轴判断所要化简的绝对值内的代数式的正负,(1)若绝对值内代数式为正则直接把绝对值符号变为括号；(2)若绝对值内代数式为负则把绝对值符号变为括号后,括号前的符号要变号；(3)去括号后进行合并.
变式训练 $a,b$在数轴上的对应点如图所示,化简：$\vert a - b \vert + \vert a + b \vert - \vert a - 1 \vert$.

C；a - 2b - 1

例2：由数轴知b＜0＜a，①正确；|b|＞|a|（b到原点距离更远），②错误；-b＞0，a＞0，-b+a＞0，③正确；a-b=a+(-b)＞0，a+b=a-|b|，因|b|＞|a|，a+b＜0，故a-b＞a+b，④错误。综上①③正确，选C。
变式训练：由数轴知b＜-1，0＜a＜1。a-b＞0，|a-b|=a-b；a+b＜0，|a+b|=-a-b；a-1＜0，|a-1|=1-a。原式=(a-b)+(-a-b)-(1-a)=a-b-a-b-1+a=a-2b-1。

1. 将$6 - ( + 3) - ( - 7) + ( - 2)$中的减法改写成省略加号的和的形式是()
A.$- 6 - 3 + 7 - 2$
B.$6 - 3 - 7 - 2$
C.$6 - 3 + 7 - 2$
D.$6 + 3 - 7 - 2$

C

将原式中的减法转化为加法，即利用减法法则：$a - b = a + (-b)$。
原式$6 - ( + 3) - ( - 7) + ( - 2)$可改写为：
$6 + ( - 3) + ( + 7) + ( - 2)$，
进一步省略加号，得到：$6 - 3 + 7 - 2$。
对比选项，与C选项一致。

2. 两个数相加,其和小于每一个加数,那么这两个数()
A.同为负数
B.异号
C.同为正数
D.为零或负数

A

根据有理数加法法则，两个负数相加时，结果（和）会更小（即更负），因此和小于每一个加数。若同为正数相加，和会大于每一个加数；若异号相加，和会介于两数之间，不可能同时小于两个加数；若存在零，和至少等于未为零的加数。因此，只有两个负数相加满足条件。

3. 甲数减去乙数的差与甲数比较()
A.差一定小于甲数
B.差不会大于甲数
C.差一定大于甲数
D.差的大小取决于乙是什么样的数

D

设甲数为$a$，乙数为$b$，则差为$a - b$，
当$b ＞ 0$时，$a - b ＜ a$（差小于甲数）；
当$b ＜ 0$时，$a - b ＞ a$（差大于甲数）；
当$b = 0$时，$a - b = a$（差等于甲数）。
差的大小取决于乙数$b$的正负情况。

4. 若$\vert a \vert - \vert b \vert = b - a$,则$a,b$在数轴上表示的点的位置可能是()

A.
B.
C.
D.

D

由|a| - |b| = b - a，移项得|a| + a = |b| + b。当x≥0时，|x| + x = 2x；当x＜0时，|x| + x = 0。
若a＜0，则|a| + a = 0，故|b| + b = 0，得b＜0；
若a≥0，则|a| + a = 2a，故|b| + b = 2a，此时b≥0且a=b，但选项中无a=b情况。
选项D中a、b均为负数（a＜b＜0），则|a| + a = 0，|b| + b = 0，满足|a| + a = |b| + b，等式成立。

5. 已知$\vert a \vert = 5,\vert b \vert = 2$,且$a + b ＜ 0$,则$a - b$的值是.

$-3$或$-7$（按照题目要求这里应填具体数值结果对应的表达形式，如果以多个答案形式呈现就是此样）

已知 $\vert a \vert = 5$，$\vert b \vert = 2$，则 $a = \pm 5$，$b = \pm 2$。
根据 $a + b ＜ 0$，分情况讨论：
当 $a = 5$ 时，无论 $b$ 取 $2$ 还是 $-2$，$a + b$ 都不满足小于 $0$，这种情况舍去。
当 $a = -5$ 时，
若 $b = 2$，$a + b=-5 + 2=-3＜0$，满足条件，此时 $a - b=-5 - 2=-7$；
若 $b = -2$，$a + b=-5 + (-2)=-7＜0$，满足条件，此时 $a - b=-5 - (-2)=-5 + 2=-3$。

6. 计算：
(1)$8 + ( - 11) - \vert - 5 \vert$；
(2)$12 + \left( - \frac{1}{2} \right) - ( - 8) - \frac{5}{2}$；
(3)$0.125 + 3 \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + 5 \frac{2}{3} - 0.25$；
(4)$\left( - 5 \frac{1}{5} \right) - \left( - 12 \frac{4}{7} \right) - \left( + 3 \frac{4}{5} \right) + \left( + 6 \frac{3}{7} \right)$.

(1)
$8 + ( - 11) - \vert - 5\vert$
$=8 - 11 - 5$
$=8 - 16$
$=-8$
(2)
$12 + \left( - \frac{1}{2} \right) - ( - 8) - \frac{5}{2}$
$=12 - \frac{1}{2} + 8 - \frac{5}{2}$
$=(12 + 8)-\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)$
$=20 - 3$
$=17$
(3)
$0.125 + 3\frac{1}{4} - \frac{1}{8} + 5\frac{2}{3} - 0.25$
$=\frac{1}{8}+3\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+5\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$
$=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\right)+\left(3\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+5\frac{2}{3}$
$=3 + 5\frac{2}{3}$
$=8\frac{2}{3}$
(4)
$\left( - 5\frac{1}{5} \right) - \left( - 12\frac{4}{7} \right) - \left( + 3\frac{4}{5} \right) + \left( + 6\frac{3}{7} \right)$
$=-5\frac{1}{5}+12\frac{4}{7}-3\frac{4}{5}+6\frac{3}{7}$
$=\left(-5\frac{1}{5}-3\frac{4}{5}\right)+\left(12\frac{4}{7}+6\frac{3}{7}\right)$
$=-9 + 19$
$=10$