19. 如图,在矩形ABCD中,AB= 4,BC= 6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.
(1)求证:△DAE∽△AMB；
(2)求DE的长.

(1) 证明：
由于ABCD是矩形，所以$\angle B = 90^\circ$，$AD // BC$。
由于$AD // BC$，根据平行线的性质，有$\angle DAE = \angle AMB$。
又因为$\angle DEA = \angle B = 90^\circ$，
根据相似三角形的判定，所以$\triangle DAE \sim \triangle AMB$。
(2)
由于M是BC的中点，且$BC = 6$，所以$MB = \frac{BC}{2} = 3$。
在直角三角形$\triangle AMB$中，利用勾股定理，有
$AM = \sqrt{AB^2 + MB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$
由于$\triangle DAE \sim \triangle AMB$，根据相似三角形的性质，有
$\frac{DE}{AB} = \frac{AD}{AM}$
代入已知数值，得
$\frac{DE}{4} = \frac{6}{5}$
解得$DE = \frac{24}{5}$。

20. 如图,在△ABC和△DEC中,∠BCE= ∠ACD,∠B= ∠CED.
(1)求证:△ABC∽△DEC；
(2)若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}= 4:9$,BC= 12,求EC的长.

(1)证明：
∵∠BCE= ∠ACD
∴∠BCE+∠ACE= ∠ACD+∠ACE
即∠DCE= ∠ACB
又∵∠B= ∠DEC
∴在△ABC和△DEC中
∠ACB= ∠DCE，∠B= ∠DEC
∴△ABC∽△DEC
(2)解：∵△ABC∽△DEC
$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}= 4:9$
$∴相似比=\sqrt{\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}}= \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
$∴\frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$
又∵BC= 12
$∴\frac{12}{EC}=\frac{2}{3}$
$∴EC= 18$

21. 如图,在等边三角形ABC中,P是边BC上一动点(点P不与端点重合),作∠DPE= 60°,PE交边AC于点E,PD交边AB于点D.
(1)求证:△BPD∽△CEP；
(2)若AB= 10,BD= 3,CP:BP= 1:4,求CE的长.

(2)CE的长为16/3。

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠DPE=60°，
∴∠BDP+∠BPD=120°，∠BPD+∠CPE=120°，
∴∠BDP=∠CPE，
∴△BPD∽△CEP；
(2)
∵AB=10，
∴BC=AB=10，
∵CP:BP=1:4，
∴BP=$\frac{4}{5}$BC=8，CP=$\frac{1}{5}$BC=2，
∵BD=3，
由
(1)知△BPD∽△CEP，
∴$\frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$，
即$\frac{3}{2}=\frac{8}{CE}$，
解得CE=$\frac{16}{3}$。