【典型例题 2】分解因式：
(1) $(2x-3y)(a+b)+(3x-2y)(a+b)$；
(2) $(m-n)^{4}+m(m-n)^{3}+n(n-m)^{3}$。

思路导引 当公因式为多项式时,相同的取最低次数,互为相反数的先通过适当的符号变形,转化为相同的多项式后再取最低次数。过程中注意多项式的每一个因式都不能再分解为止。
【解】
(1) 原式 $=(a+b)[(2x-3y)+(3x-2y)]$
$=(a+b)(2x-3y+3x-2y)$
$=(a+b)(5x-5y)$
$=5(a+b)(x-y)$。
(2) 原式 $=(m-n)^{4}+m(m-n)^{3}-n(m-n)^{3}$
$=(m-n)^{3}[(m-n)+m-n]$
$=(m-n)^{3}[2(m-n)]$
$=2(m-n)^{4}$。

2. 下列各组中,没有公因式的一组是()
A.$3(a+b)$与 $6(a-b)$
B.$2(a-b)$与 $a-b$
C.$(x+y)^{2}$与 $(x-y)^{2}$
D.$3(a-b)^{3}$与 $2(b-a)^{2}$

C

A. 对于 $3(a+b)$ 和 $6(a-b)$，可以提取最大公因数3，但$a+b$和$a-b$没有公因式，但题目问的是组中两个式子是否有公因式，这里考虑数字部分和字母部分，3和6的公因式是3，但需要看字母部分是否有公因式，显然$a+b$与$a-b$没有公因式，但题目要求的是整组的公因式，这里存在数字部分的公因式3，但通常我们更关注字母部分的公因式，按照题目的核心意思，我们寻找的是字母部分的公因式，因此从字母部分看，没有公因式的说法是指$a+b$与$a-b$这种，但严格来说，整组有数字公因式，不过在此题的语境下，我们寻找的是式子本身的公因式，即字母部分，所以此组在字母意义上没有公因式，但存在数字公因式不影响我们判断字母部分无公因式，且其他选项存在更明显的公因式情况，所以此选项不是答案。
B. 对于 $2(a-b)$ 和 $a-b$，可以明显看出公因式是 $a-b$。
C. 对于 $(x+y)^{2}$ 和 $(x-y)^{2}$，考虑它们的因子，$x+y$ 和 $x-y$ 是不同的，且没有公因式（除非将x或y视为公因式，但在此我们考虑的是多项式的形式，所以它们没有公因式），且整个式子形式也没有公因式可提。
D. 对于 $3(a-b)^{3}$ 和 $2(b-a)^{2}$，注意到 $b-a = -(a-b)$，所以 $2(b-a)^{2} = 2(a-b)^{2}$，公因式是 $(a-b)^{2}$。
从上面的分析中，只有C选项中的两个式子没有公因式。

3. 分解因式：$5(x-y)^{3}+10(y-x)^{2}= $。

$5(x-y)^{2}(x-y+2)$

首先，观察到 $10(y - x)^2$ 可以写成 $10(x - y)^2$，因为平方后符号不影响结果。
因此，原式可以重写为：
$5(x - y)^3 + 10(x - y)^2$。
接下来，提取公因式 $5(x - y)^2$：
$5(x - y)^3 + 10(x - y)^2 = 5(x - y)^2 \cdot (x - y) + 5(x - y)^2 \cdot 2$
$= 5(x - y)^2 \cdot (x - y + 2)$。

1. 用提公因式法因式分解多项式 $8a^{2}b-12a^{3}b^{2}c$,其中的公因式是()
A.$8a^{2}b$
B.$12a^{3}b^{2}c$
C.$4ab$
D.$4a^{2}b$

D

确定公因式：系数取8和12的最大公约数4；字母取各项都含有的a、b；a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以公因式为$4a^{2}b$。

2. 用提公因式法分解因式正确的是()
A.$12abc-9a^{2}b^{2}c^{2}= 3abc(4-3ab)$
B.$3x^{2}y-3xy+6y= 3y(x^{2}-x+2y)$
C.$-a^{2}+ab-ac= -a(a-b+c)$
D.$x^{2}y+5ay-y= y(x^{2}+5a)$

C

A. $12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2} = 3abc(4 - 3abc)$，原式右侧为$3abc(4-3ab)$，选项给定内容不正确。
B. $3x^{2}y - 3xy + 6y$ 的公因式应为 $3y$，提取后为 $3y(x^{2} - x + 2)$，原式右侧为$3y(x^{2}-x+2y)$，选项给定内容不正确。
C. $-a^{2} + ab - ac$ 的公因式是 $-a$，提取后为 $-a(a - b + c)$，与原式右侧一致，选项内容正确。
D. $x^{2}y + 5ay - y$ 的公因式是 $y$，提取后为 $y(x^{2} + 5a - 1)$，原式右侧为$y(x^{2}+5a)$，选项给定内容不正确。

3. 已知 $mn= 1$,$m-n= 2$,则 $m^{2}n-mn^{2}$的值是()
A.$-1$
B.$3$
C.$2$
D.$-2$

C

首先，对$m^{2}n - mn^{2}$进行因式分解，提取公因式$mn$，得到：
$m^{2}n - mn^{2} = mn(m - n)$
根据题目条件，已知$mn = 1$和$m - n = 2$，
将这两个值代入上面的表达式，得到：
$mn(m - n) = 1 × 2 = 2$

4. 数学课上,老师讲了提公因式法因式分解,放学后,小丽回到家拿出课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容,她突然发现一道题：$-12xy^{2}+6x^{2}y+3xy= -3xy\cdot (4y-$______)横线的地方被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写()
A.$2x$
B.$-2x$
C.$2x-1$
D.$-2x-1$

C

$-12xy^{2}+6x^{2}y+3xy=-3xy\cdot 4y + (-3xy)\cdot (-2x) + (-3xy)\cdot (-1)=-3xy(4y - 2x - 1)$，故横线上应填$2x - 1$。

5. 分解因式：$x^{2}y+2xy= $。

$xy(x + 2)$

原式$=xy \cdot x + xy \cdot 2 = xy(x + 2)$

6. 把 $5(a-b)+m(b-a)$提公因式后一个因式是 $(a-b)$,则另一个因式是。

$5 - m$

原式$5(a-b)+m(b-a)$可变形为$5(a-b)-m(a - b)$，
提出公因式$(a - b)$后可得$(a - b)(5 - m)$。
所以另一个因式是$5 - m$。