如图11.5-21所示,暗盒内若干只规格相同的小彩灯串联后接到暗盒外的电源上,为了判断暗盒内小彩灯的数目,现提供一只与暗盒内规格相同的小彩灯、两只电压表和若干导线。


(1) 请利用所提供的器材,在图11.5-22甲、乙、丙的虚线框内画出你所设计的电路图(三种方法)。

(2) 在你设计的电路中,若闭合开关后,电压表$V_1、$$V_2$的示数分别为$U_1、$$U_2,$则暗盒内小彩灯数目的表达式为：
图11.5-22甲,n= ；
图11.5-22乙,n= ；
图11.5-22丙,n= 。

(1) 电路图设计
甲图：暗盒（n个彩灯串联）与额外彩灯串联，电压表V₁并联在额外彩灯两端，电压表V₂并联在暗盒两端。
乙图：暗盒（n个彩灯串联）与额外彩灯串联，电压表V₁并联在电源两端（测总电压），电压表V₂并联在额外彩灯两端。
丙图：暗盒（n个彩灯串联）与额外彩灯串联，电压表V₁并联在电源两端（测总电压），电压表V₂并联在暗盒两端。
(2) 表达式推导
设每个小彩灯两端电压为$ U_{灯} $，暗盒内彩灯数目为$ n $。
图甲：
V₁测额外彩灯电压$ U_1 = U_{灯} $，V₂测暗盒内n个彩灯总电压$ U_2 = nU_{灯} $。
则$ n = \frac{U_2}{U_1} $。
图乙：
V₁测总电压$ U_1 = (n+1)U_{灯} $，V₂测额外彩灯电压$ U_2 = U_{灯} $。
则$ n+1 = \frac{U_1}{U_2} $，故$ n = \frac{U_1}{U_2} - 1 $。
图丙：
V₁测总电压$ U_1 = (n+1)U_{灯} $，V₂测暗盒内n个彩灯总电压$ U_2 = nU_{灯} $。
联立得$ U_{灯} = \frac{U_1}{n+1} = \frac{U_2}{n} $，解得$ n = \frac{U_2}{U_1 - U_2} $。
答案
(1) 电路图如下（文字描述对应）：
甲：暗盒与额外彩灯串联，V₁并额外彩灯，V₂并暗盒；
乙：暗盒与额外彩灯串联，V₁并电源，V₂并额外彩灯；
丙：暗盒与额外彩灯串联，V₁并电源，V₂并暗盒。
(2) 甲：$ \frac{U_2}{U_1} $；乙：$ \frac{U_1}{U_2} - 1 $；丙：$ \frac{U_2}{U_1 - U_2} $。