1. (2024·福建中考)下列运算正确的是()
A.$ a ^ { 3 } \cdot a ^ { 3 } = a ^ { 9 } $
B.$ a ^ { 4 } ÷ a ^ { 2 } = a ^ { 2 } $
C.$ ( a ^ { 3 } ) ^ { 2 } = a ^ { 5 } $
D.$ 2 a ^ { 2 } - a ^ { 2 } = 2 $

B

A. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{3} \cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}$，而不是$a^{9}$，所以A选项错误。
B. 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，$a^{4}÷ a^{2}=a^{4 - 2}=a^{2}$，所以B选项正确。
C. 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$，而不是$a^{5}$，所以C选项错误。
D. 根据合并同类项法则，$2a^{2}-a^{2}=(2 - 1)a^{2}=a^{2}$，而不是$2$，所以D选项错误。

2. (2024·四川雅安中考)计算 $ ( 1 - 3 ) ^ { 0 } $ 的结果是()
A.$ - 2 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 4 $

C

根据零指数幂的定义，对于任何非零数 $a$，有 $a^{0} = 1$，在本题中，虽然 $1 - 3 = -2$，但 $-2$ 不等于 0，所以 $(1 - 3)^{0} = (-2)^{0} = 1$。

3. 下列计算中：① $ 4 a ^ { 3 } b ÷ ( 2 a ^ { 2 } ) = 2 a $；② $ - 12 x ^ { 4 } y ^ { 3 } ÷ ( 2 x ^ { 2 } y ) = 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } $；③ $ - 16 a ^ { 2 } b c ÷ \left( \dfrac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } b \right) = - 4 $；④ $ \left( \dfrac { 1 } { 2 } a b ^ { 2 } \right) ^ { 3 } ÷ \left( \dfrac { 1 } { 2 } a b ^ { 2 } \right) = \dfrac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } b ^ { 4 } $,错误的有()
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

C

① $4a^{3}b ÷ (2a^{2}) = \frac{4}{2} \cdot a^{3-2} \cdot b = 2ab$（原式漏乘$b$，错误）；
② $-12x^{4}y^{3} ÷ (2x^{2}y) = \frac{-12}{2} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} = -6x^{2}y^{2}$（原式符号错误，应为$-6x^{2}y^{2}$，错误）；
③ $-16a^{2}bc ÷ \left( \frac{1}{4}a^{2}b \right) = \frac{-16}{\frac{1}{4}} \cdot a^{2-2} \cdot b^{1-1} \cdot c = -64c$（原式计算错误，错误）；
④ $\left( \frac{1}{2}ab^{2} \right)^{3} ÷ \left( \frac{1}{2}ab^{2} \right) = \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{3} \cdot a^{3} \cdot b^{6}}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b^{2}} = \frac{1}{4}a^{2}b^{4}$（正确）；
错误的计算有3个。

4. 若 $ 3 x - y = 1 $,则代数式 $ 8 ^ { x } ÷ 2 ^ { y } ÷ 2 $ 的值为.

$1$

根据题意，有 $8^x ÷ 2^y ÷ 2$，
将 $8^x$ 转化为以2为底的幂形式，即 $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$，
代入原式得：$2^{3x} ÷ 2^y ÷ 2$，
根据同底数幂的除法法则，化简为：$2^{3x - y - 1}$，
由题目条件 $3x - y = 1$，代入上式得：$2^{1 - 1} = 2^0 = 1$。

5. 计算：(1) $ \left( \dfrac { 1 } { 16 } x ^ { 3 } y ^ { 2 } z \right) ÷ \left( \dfrac { 1 } { 48 } x ^ { 2 } y \right) $；
(2) $ \left( - \dfrac { 3 } { 5 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ÷ ( 3 x ^ { 2 } y ) \cdot \left( - \dfrac { 1 } { 3 } x \right) $；
(3) $ ( 3 a ^ { 2 } b ) ^ { 2 } \cdot ( - 5 a b ^ { 2 } ) ÷ ( 15 a ^ { 4 } b ^ { 2 } ) $；
(4) $ ( 36 a ^ { 4 } b ^ { 3 } - 9 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ) ÷ ( - 6 a ^ { 2 } b ) $.

(1)
$\begin{aligned} \left( \dfrac { 1 } { 16 } x ^ { 3 } y ^ { 2 } z \right) ÷ \left( \dfrac { 1 } { 48 } x ^ { 2 } y \right) &= \left( \dfrac{1}{16} ÷ \dfrac{1}{48} \right) \cdot \left( x^{3} ÷ x^{2} \right) \cdot \left( y^{2} ÷ y \right) \cdot z \\ &= 3 \cdot x \cdot y \cdot z \\ &= 3xyz \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \left( - \dfrac { 3 } { 5 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ÷ ( 3 x ^ { 2 } y ) \cdot \left( - \dfrac { 1 } { 3 } x \right) &= \left( - \dfrac{3}{5} ÷ 3 \right) \cdot \left( x^{2} ÷ x^{2} \right) \cdot \left( y^{3} ÷ y \right) \cdot \left( - \dfrac{1}{3} x \right) \\ &= \left( - \dfrac{1}{5} \right) \cdot 1 \cdot y^{2} \cdot \left( - \dfrac{1}{3} x \right) \\ &= \dfrac{1}{15}xy^{2} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} ( 3 a ^ { 2 } b ) ^ { 2 } \cdot ( - 5 a b ^ { 2 } ) ÷ ( 15 a ^ { 4 } b ^ { 2 } ) &= 9a^{4}b^{2} \cdot \left( -5ab^{2} \right) ÷ \left( 15a^{4}b^{2} \right) \\ &= \left[ 9 × (-5) ÷ 15 \right] \cdot \left( a^{4} \cdot a ÷ a^{4} \right) \cdot \left( b^{2} \cdot b^{2} ÷ b^{2} \right) \\ &= -3 \cdot a \cdot b^{2} \\ &= -3ab^{2} \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} ( 36 a ^ { 4 } b ^ { 3 } - 9 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ) ÷ ( - 6 a ^ { 2 } b ) &= 36a^{4}b^{3} ÷ \left( -6a^{2}b \right) - 9a^{3}b^{2} ÷ \left( -6a^{2}b \right) + 4a^{2}b^{2} ÷ \left( -6a^{2}b \right) \\ &= -6a^{2}b^{2} + \dfrac{3}{2}ab - \dfrac{2}{3}b \end{aligned}$

(1) $\left( \dfrac{1}{16}x^{3}y^{2}z \right) ÷ \left( \dfrac{1}{48}x^{2}y \right)$
$=\left( \dfrac{1}{16} ÷ \dfrac{1}{48} \right) \cdot (x^{3} ÷ x^{2}) \cdot (y^{2} ÷ y) \cdot z$
$=3xyz$
(2) $\left( -\dfrac{3}{5}x^{2}y^{3} \right) ÷ (3x^{2}y) \cdot \left( -\dfrac{1}{3}x \right)$
$=\left( -\dfrac{3}{5} ÷ 3 \right) \cdot (x^{2} ÷ x^{2}) \cdot (y^{3} ÷ y) \cdot \left( -\dfrac{1}{3}x \right)$
$=\left( -\dfrac{1}{5}y^{2} \right) \cdot \left( -\dfrac{1}{3}x \right)$
$=\dfrac{1}{15}xy^{2}$
(3) $(3a^{2}b)^{2} \cdot (-5ab^{2}) ÷ (15a^{4}b^{2})$
$=9a^{4}b^{2} \cdot (-5ab^{2}) ÷ (15a^{4}b^{2})$
$=-45a^{5}b^{4} ÷ 15a^{4}b^{2}$
$=-3ab^{2}$
(4) $(36a^{4}b^{3} - 9a^{3}b^{2} + 4a^{2}b^{2}) ÷ (-6a^{2}b)$
$=36a^{4}b^{3} ÷ (-6a^{2}b) - 9a^{3}b^{2} ÷ (-6a^{2}b) + 4a^{2}b^{2} ÷ (-6a^{2}b)$
$=-6a^{2}b^{2} + \dfrac{3}{2}ab - \dfrac{2}{3}b$

6. 先化简,再求值：$ ( a ^ { 2 } b - 2 a b ^ { 2 } - b ^ { 3 } ) ÷ b - ( a + b ) ( a - b ) $,其中 $ a = \dfrac { 1 } { 2 } $,$ b = - 1 $.

1

化简过程：
1. 计算多项式除以单项式：
$ (a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b = a^2 - 2ab - b^2 $
2. 计算平方差公式：
$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
3. 合并化简：
$ (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 - b^2) = a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2 = -2ab $
代入求值：
当 $a = \dfrac{1}{2}$，$b = -1$ 时，
$-2ab = -2 × \dfrac{1}{2} × (-1) = 1$

7. 已知 $ 5 ^ { x } = 3 $,$ 5 ^ { y } = 2 $,则 $ 5 ^ { 2 x - 3 y } = $()
A.$ \dfrac { 3 } { 4 } $
B.$ 1 $
C.$ \dfrac { 2 } { 3 } $
D.$ \dfrac { 9 } { 8 } $

D

已知 $5^x = 3$，$5^y = 2$，需要求 $5^{2x - 3y}$。
根据幂的运算法则：
$5^{2x - 3y} = 5^{2x} ÷ 5^{3y} = (5^x)^2 ÷ (5^y)^3$。
代入已知值：
$(5^x)^2 = 3^2 = 9$，
$(5^y)^3 = 2^3 = 8$，
因此，$5^{2x - 3y} = \dfrac{9}{8}$。

8. 若 $ x $ 满足 $ ( x - 2 ) ^ { x + 1 } = 1 $,则整数 $ x $ 的值为.

-1，1，3

分三种情况讨论：
1. 非零数的零次幂等于1：指数$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，此时底数$x - 2 = -3 \neq 0$，成立；
2. 1的任何次幂等于1：底数$x - 2 = 1$，解得$x = 3$，此时指数$x + 1 = 4$，$1^4 = 1$，成立；
3. -1的偶次幂等于1：底数$x - 2 = -1$，解得$x = 1$，此时指数$x + 1 = 2$（偶数），$(-1)^2 = 1$，成立。
综上，整数$x$的值为-1，1，3。

9. 课堂上小李给同学们表演了一个有趣的猜数游戏,游戏规则如下：
(1) 每位同学在心里想好一个除了 0 以外的数；
(2) 把这个数加上 3 后再平方；
(3) 然后减去 9；
(4) 再除以所想的这个数；
(5) 最后把结果告诉我,我便能立即说出你原来所想的数是多少.
你知道其中的奥妙吗？

设所想的数为$x(x\neq0)$，
步骤(2)：$ (x + 3)^2$，
步骤(3)：$ (x + 3)^2 - 9$，
对$ (x + 3)^2 - 9$化简：
$ (x + 3)^2 - 9$
$=x^{2}+6x + 9 - 9$
$=x^{2}+6x$
步骤(4)：$ \frac{x^{2} + 6x}{x}$，
因为$x\neq0$，根据分式性质$\frac{x^{2}+6x}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{6x}{x}=x + 6$。
设最后结果为$y$，即$y=x + 6$，
当知道$y$的值时，$x=y - 6$。
所以，无论同学心里想的是哪个非零数，按照上述游戏规则计算后，小李只要将同学告诉的结果减去6，就能得到同学原来所想的数。