【典型例题 1】下列式子中,哪些是整式？哪些是分式？
$ - 3x,\frac{a^{2}}{a},\frac{x + y}{3\pi},\frac{5}{3}x^{2}y, - 7,\frac{2}{5 - y},\frac{a + 1}{a},\frac{x^{2} + x}{x}. $

整式：$-3x,\frac{x + y}{3\pi},\frac{5}{3}x^{2}y, - 7$；
分式：$\frac{a^{2}}{a},\frac{2}{5 - y},\frac{a + 1}{a},\frac{x^{2} + x}{x}$。

1. 下列各式是分式的是()
$A. \frac{1}{\pi} $
$B. \frac{x}{3} $
$C. \frac{1}{x - 1} $
$D. \frac{2}{3} $

C

分式是形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子。选项A中π是常数，不是字母；选项B分母为3，不含字母；选项D是分数，分母不含字母；选项C分母为$x - 1$，含有字母x，符合分式定义。

2. 轮船在静水中每小时航行$$ x $$千米,水流速度为$$ y $$千米/时,则轮船逆流航行 50 千米用小时。

$\frac{50}{x - y}$

轮船逆流航行的速度为静水速度减去水流速度，即$(x - y)$千米/时。根据时间 = 路程÷速度，逆流航行50千米所用时间为$\frac{50}{x - y}$小时。

【典型例题 2】当 x 取什么值时,下列各分式有意义？
$(1) \frac{2x + 1}{5x - 3} ；(2) \frac{1}{|x| - 1} ；$
$(3) \frac{x + 1}{x^{2} + 3} ；(4) \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 5)} 。$

答题卡作答：
(1) 要使分式 $ \frac{2x + 1}{5x - 3} $ 有意义，需满足分母不为零，即：
$5x - 3 \neq 0$，
解得：
$x \neq \frac{3}{5}$。
(2) 要使分式 $ \frac{1}{|x| - 1} $ 有意义，需满足分母不为零，即：
$|x| - 1 \neq 0$，
解得：
$x \neq \pm 1$。
(3) 要使分式 $ \frac{x + 1}{x^{2} + 3} $ 有意义，需满足分母不为零。由于：
$x^{2} \geq 0$，
$x^{2} + 3 ＞ 0$ 恒成立，
因此 $ x $ 为任意实数时，分式都有意义。
(4) 要使分式 $ \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 5)} $ 有意义，需满足分母不为零，即：
$(x + 2)(x - 5) \neq 0$，
解得：
$x \neq -2 \quad 且 \quad x \neq 5$。