*17. (★★) 如图 $24 - 25$,已知 $\odot O$ 是边长为 $4$ 的等边 $\triangle ABC$ 的内切圆,则 $\odot O$ 的面积为。

$\frac{4}{3}\pi$

设等边三角形$\triangle ABC$的内切圆半径为$r$。
由于$\triangle ABC$是边长为$4$的等边三角形，其高$h$可以计算为：
$h = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$，
三角形的面积$S_{\triangle ABC}$也可以表示为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
另一方面，三角形的面积也可以表示为内切圆半径与三角形周长的乘积的一半，即：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × (4 + 4 + 4) × r = 6r$，
将两个面积表达式相等，得到：
$6r = 4\sqrt{3}$，
解得：
$r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，
因此，内切圆$\odot O$的面积为：
$S = \pi r^{2} = \pi × \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2} = \frac{4}{3}\pi$。

18. (★★) (2020·威海) 如图 $24 - 26$,$\triangle ABC$ 的外角 $\angle BAM$ 的平分线与它的外接圆相交于点 $E$,连接 $BE$,$CE$,过点 $E$ 作 $EF // BC$,交 $CM$ 于点 $D$。
求证：(1) $BE = CE$；
(2) $EF$ 为 $\odot O$ 的切线。

(1)
∵四边形ABCE内接于⊙O，延长BA到M，
∴∠MAE=∠EAC（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵AE平分∠BAM，
∴∠MAE=∠BAE。
∴∠BAE=∠EAC。
∴弧BE=弧CE（同圆中，相等圆周角所对弧相等）。
∴BE=CE（等弧所对弦相等）。
(2) 连接OE。
∵BE=CE，
∴弧BE=弧CE，即E为弧BC中点。
∴OE⊥BC（平分弧的直径垂直平分弦）。
∵EF//BC，
∴OE⊥EF。
∵OE为⊙O半径，
∴EF为⊙O切线（切线判定定理）。

19. (★★) (2023·济南) 如图 $24 - 27$,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$C$ 为 $\odot O$ 上一点,$\odot O$ 的切线 $BD$ 交 $OC$ 的延长线于点 $D$。
(1) 求证：$\angle DBC = \angle OCA$；
(2) 若 $\angle BAC = 30^{\circ}$,$AC = 2$,求 $CD$ 的长。

(2) CD=2√3/3。

(1) 证明：
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。
∵BD是⊙O切线，∴OB⊥BD，∠OBD=90°，则∠OBC+∠DBC=90°。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，则∠OCA+∠OCB=90°。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠OCA=∠DBC（等角的余角相等）。
(2) ∵∠BAC=30°，∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=30°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠BAC=30°，
cos30°=AC/AB，AB=AC/cos30°=2/(√3/2)=4√3/3。
∴OC=OB=AB/2=2√3/3。
∵OC=OB，∠AOC=180°-2∠OAC=120°，∴∠COB=180°-120°=60°，
∴△OCB是等边三角形，BC=OC=2√3/3。
∵∠DBC=∠OCA=30°，∠BCD=180°-∠OCB=120°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠BCD=30°，∴CD=BC=2√3/3。