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5. 如图,已知AB= AC,AD= AE,欲证△ABD≌△ACE,需补充的条件是(
A.∠B= ∠C
B.∠D= ∠E
C.∠1= ∠2
D.∠CAD= ∠2
C
)A.∠B= ∠C
B.∠D= ∠E
C.∠1= ∠2
D.∠CAD= ∠2
答案
C
解析
已知$AB=AC$，$AD=AE$，
根据三角形全等（SAS）的判定定理，需要补充两边所夹的角相等，
即需要$\angle BAD=\angle CAE$，
由于$\angle BAD=\angle1+\angle CAD$，
$\angle CAE=\angle2+\angle CAD$，
所以要使$\angle BAD=\angle CAE$，
只需$\angle1=\angle2$。
因此，补充$\angle1=\angle2$后，可证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
根据三角形全等（SAS）的判定定理，需要补充两边所夹的角相等，
即需要$\angle BAD=\angle CAE$，
由于$\angle BAD=\angle1+\angle CAD$，
$\angle CAE=\angle2+\angle CAD$，
所以要使$\angle BAD=\angle CAE$，
只需$\angle1=\angle2$。
因此，补充$\angle1=\angle2$后，可证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
6. 如图,AB= 6cm,AC= 4cm,BC= 5cm,AE= AC,AD是△ABC的角平分线,则△BED的周长为(
A.7cm
B.8cm
C.6cm
D.9cm
A
)A.7cm
B.8cm
C.6cm
D.9cm
答案
A
解析
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD。
∵AE=AC，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS）。
∴ED=CD。
∵AB=6cm，AC=AE=4cm，∴BE=AB - AE=6 - 4=2cm。
△BED的周长=BE + ED + BD=BE + CD + BD=BE + BC。
∵BC=5cm，∴△BED的周长=2 + 5=7cm。
∵AE=AC，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS）。
∴ED=CD。
∵AB=6cm，AC=AE=4cm，∴BE=AB - AE=6 - 4=2cm。
△BED的周长=BE + ED + BD=BE + CD + BD=BE + BC。
∵BC=5cm，∴△BED的周长=2 + 5=7cm。
7. 如图,OA= OC,OB= OD,且OA⊥OB,OC⊥OD,有下列结论：①△AOD≌△COB；②CD= AB；③∠CDA= ∠ABC. 其中正确的结论是(
A.①②
B.①②③
C.①③
D.②③
B
)A.①②
B.①②③
C.①③
D.②③
答案
B
解析
由$OA=OC$，$OB=OD$，且$\angle AOD = \angle COB = 90^\circ + \angle AOC$（或由$\angle AOB = \angle COD = 90^\circ$，通过等量替换得到$\angle AOD = \angle COB$），
根据$SAS$可得$\triangle AOD \cong \triangle COB$，故①正确。
由$\triangle AOD \cong \triangle COB$，可得$AD = CB$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$OA = OC$，$OB = OD$，$\angle AOB=\angle COD = 90^\circ$，根据$SAS$可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$，所以$AB = CD$（全等三角形对应边相等），故②正确。
因为$\triangle AOD \cong \triangle COB$，所以$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$（全等三角形对应角相等）。
在$\triangle AMD$和$\triangle CMB$中，$\angle AMD=\angle CMB$（对顶角相等），根据三角形内角和定理及等式性质可得$\angle CDA=\angle ABC$，故③正确。
根据$SAS$可得$\triangle AOD \cong \triangle COB$，故①正确。
由$\triangle AOD \cong \triangle COB$，可得$AD = CB$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$OA = OC$，$OB = OD$，$\angle AOB=\angle COD = 90^\circ$，根据$SAS$可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$，所以$AB = CD$（全等三角形对应边相等），故②正确。
因为$\triangle AOD \cong \triangle COB$，所以$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$（全等三角形对应角相等）。
在$\triangle AMD$和$\triangle CMB$中，$\angle AMD=\angle CMB$（对顶角相等），根据三角形内角和定理及等式性质可得$\angle CDA=\angle ABC$，故③正确。
8. 如图,点E,F在BC上,BE= CF,AB= DC,∠B= ∠C. 求证：∠A= ∠D.
答案
证明：
因为$BE = CF$，
在等式两边同时加上$EF$，可得$BE + EF = CF + EF$，
即$BF = CE$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$\begin{cases}AB = DC,\\\angle B = \angle C,\\BF = CE.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（$SAS$），
可得$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$\angle A = \angle D$。
因为$BE = CF$，
在等式两边同时加上$EF$，可得$BE + EF = CF + EF$，
即$BF = CE$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$\begin{cases}AB = DC,\\\angle B = \angle C,\\BF = CE.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（$SAS$），
可得$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$\angle A = \angle D$。
9. 如图,在△ABC和△DBE中,AC= DE,∠ACB= ∠DEB,BC= BE. 若EF⊥BC于点F,∠BEF= 60°,求∠ABD的度数.
答案
30°
解析
∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°。
在Rt△BEF中，∠BEF=60°，∴∠EBF=90°-∠BEF=30°，即∠CBE=30°。
在△ABC和△DBE中，
AC=DE，
∠ACB=∠DEB，
BC=BE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）。
∴∠ABC=∠DBE。
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠DBE=∠ABE+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBE=30°。
在Rt△BEF中，∠BEF=60°，∴∠EBF=90°-∠BEF=30°，即∠CBE=30°。
在△ABC和△DBE中，
AC=DE，
∠ACB=∠DEB，
BC=BE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）。
∴∠ABC=∠DBE。
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠DBE=∠ABE+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBE=30°。
10. 如图,在△ABC中,∠B= 50°,∠C= 20°. 过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D,使AD= AC. 在边AC上截取AF= AB,连接DF. 求证：DF= CB.
答案
在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°.
∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=90°-20°=70°.
∵E，A，D三点共线，∴∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠CAD=180°-∠EAC=180°-70°=110°，即∠DAF=∠CAD=110°.
∵AF=AB，AD=AC，∠DAF=∠BAC=110°，
∴△ADF≌△ACB(SAS)，
∴DF=CB.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°.
∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=90°-20°=70°.
∵E，A，D三点共线，∴∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠CAD=180°-∠EAC=180°-70°=110°，即∠DAF=∠CAD=110°.
∵AF=AB，AD=AC，∠DAF=∠BAC=110°，
∴△ADF≌△ACB(SAS)，
∴DF=CB.
