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1. 若$a^{2} - b^{2} + 4b - 4 = a^{2} - ($______$)$,则( )内填的代数式应为(
A.$b^{2} + 4b - 4$
B.$b^{2} + 4b + 4$
C.$b^{2} - 4b + 4$
D.$b^{2} - 4b - 4$
C
)A.$b^{2} + 4b - 4$
B.$b^{2} + 4b + 4$
C.$b^{2} - 4b + 4$
D.$b^{2} - 4b - 4$
答案
C
解析
因为$a^{2} - b^{2} + 4b - 4 = a^{2} - (b^{2} - 4b + 4)$，所以括号内填的代数式应为$b^{2} - 4b + 4$。
2. 下列各式不能由$a - b + c$通过变形得到的是(
A.$a - (b - c)$
B.$c - (b - a)$
C.$(a - b) + c$
D.$a - (b + c)$
D
)A.$a - (b - c)$
B.$c - (b - a)$
C.$(a - b) + c$
D.$a - (b + c)$
答案
D
解析
本题可通过去括号法则对各选项逐一进行分析，判断其是否能由$a - b + c$变形得到。
选项A：$a - (b - c)$
根据去括号法则：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，对$a - (b - c)$去括号可得$a - (b - c)=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项B：$c - (b - a)$
对$c - (b - a)$去括号，根据上述去括号法则可得$c - (b - a)=c - b + a=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项C：$(a - b) + c$
去括号可得$(a - b) + c=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项D：$a - (b + c)$
根据去括号法则对$a - (b + c)$去括号，可得$a - (b + c)=a - b - c$，与$a - b + c$不相等，所以该选项不能由$a - b + c$通过变形得到。
选项A：$a - (b - c)$
根据去括号法则：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，对$a - (b - c)$去括号可得$a - (b - c)=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项B：$c - (b - a)$
对$c - (b - a)$去括号，根据上述去括号法则可得$c - (b - a)=c - b + a=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项C：$(a - b) + c$
去括号可得$(a - b) + c=a - b + c$，所以该选项能由$a - b + c$通过变形得到。
选项D：$a - (b + c)$
根据去括号法则对$a - (b + c)$去括号，可得$a - (b + c)=a - b - c$，与$a - b + c$不相等，所以该选项不能由$a - b + c$通过变形得到。
3. 在等式右边的括号内填上适当的项。
(1)$-a + 3b = -($
(2)$2 - 3x + y = 2 - ($
(3)$x + 2y - 3z = x + ($
(4)$2x + 5a - 7y = 2x - ($
(1)$-a + 3b = -($
$a - 3b$
$)$；(2)$2 - 3x + y = 2 - ($
$3x - y$
$)$；(3)$x + 2y - 3z = x + ($
$2y - 3z$
$)$；(4)$2x + 5a - 7y = 2x - ($
$-5a + 7y$
$)$。答案
(1)$a - 3b$；(2)$3x - y$；(3)$2y - 3z$；(4)$-5a + 7y$
解析
(1) $-a + 3b = -(a - 3b)$，括号内填$a - 3b$；
(2) $2 - 3x + y = 2 - (3x - y)$，括号内填$3x - y$；
(3) $x + 2y - 3z = x + (2y - 3z)$，括号内填$2y - 3z$；
(4) $2x + 5a - 7y = 2x - (-5a + 7y)$，括号内填$-5a + 7y$。
(2) $2 - 3x + y = 2 - (3x - y)$，括号内填$3x - y$；
(3) $x + 2y - 3z = x + (2y - 3z)$，括号内填$2y - 3z$；
(4) $2x + 5a - 7y = 2x - (-5a + 7y)$，括号内填$-5a + 7y$。
4. 已知$2a - 3b = 7$,则$8 + 6b - 4a = $
$-6$
。答案
$-6$
解析
已知$2a-3b=7$，
对$6b - 4a$进行变形可得$6b - 4a=-2(2a - 3b)$，
将$2a - 3b = 7$代入$-2(2a - 3b)$可得：$-2×7=-14$，
则$8 + 6b - 4a=8-14=-6$。
对$6b - 4a$进行变形可得$6b - 4a=-2(2a - 3b)$，
将$2a - 3b = 7$代入$-2(2a - 3b)$可得：$-2×7=-14$，
则$8 + 6b - 4a=8-14=-6$。
5. 把多项式$x^{3}y - 4xy^{3} + 2x^{2} - xy - 1$按下列要求添括号。
(1)把四次项相结合,放在带“-”号的括号里；
(2)把二次项相结合,放在带“+”号的括号里。
(1)把四次项相结合,放在带“-”号的括号里；
(2)把二次项相结合,放在带“+”号的括号里。
答案
(1) $ x^{3}y - 4xy^{3} + 2x^{2} - xy - 1 = -(-x^{3}y + 4xy^{3}) + 2x^{2} - xy - 1 $
(2) $ x^{3}y - 4xy^{3} + 2x^{2} - xy - 1 = x^{3}y - 4xy^{3} + (2x^{2} - xy) - 1 $
(2) $ x^{3}y - 4xy^{3} + 2x^{2} - xy - 1 = x^{3}y - 4xy^{3} + (2x^{2} - xy) - 1 $
6. 运用乘法公式计算：
(1)$(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$；
(2)$(a - 2b + 3c)^{2}$。
(1)$(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$；
(2)$(a - 2b + 3c)^{2}$。
答案
(1) 原式=[(a - 1) - 2b][(a - 1) + 2b]
=(a - 1)² - (2b)²
=a² - 2a + 1 - 4b²
=a² - 4b² - 2a + 1
(2) 原式=[(a - 2b) + 3c]²
=(a - 2b)² + 2(a - 2b)(3c) + (3c)²
=a² - 4ab + 4b² + 6ac - 12bc + 9c²
=a² + 4b² + 9c² - 4ab + 6ac - 12bc
=(a - 1)² - (2b)²
=a² - 2a + 1 - 4b²
=a² - 4b² - 2a + 1
(2) 原式=[(a - 2b) + 3c]²
=(a - 2b)² + 2(a - 2b)(3c) + (3c)²
=a² - 4ab + 4b² + 6ac - 12bc + 9c²
=a² + 4b² + 9c² - 4ab + 6ac - 12bc
7. 当$x = 1$时,代数式$px^{3} + qx + 1的值为2022$,则当$x = -1$时,代数式$px^{3} + qx + 1$的值为(
A.$-2019$
B.$-2020$
C.$-2021$
D.$-2022$
B
)A.$-2019$
B.$-2020$
C.$-2021$
D.$-2022$
答案
B
解析
当$x = 1$时，代数式$px^{3} + qx + 1 = p \cdot 1^{3} + q \cdot 1 + 1 = p + q + 1 = 2022$，
因此$p + q = 2022 - 1 = 2021$。
当$x = -1$时，代数式$px^{3} + qx + 1 = p \cdot (-1)^{3} + q \cdot (-1) + 1 = -p - q + 1$。
将$p + q = 2021$代入，得$-p - q + 1 = -(p + q) + 1 = -2021 + 1 = -2020$。
因此$p + q = 2022 - 1 = 2021$。
当$x = -1$时，代数式$px^{3} + qx + 1 = p \cdot (-1)^{3} + q \cdot (-1) + 1 = -p - q + 1$。
将$p + q = 2021$代入，得$-p - q + 1 = -(p + q) + 1 = -2021 + 1 = -2020$。
8. 若$(a^{2} + b^{2} + 1)(a^{2} + b^{2} - 1) = 35$,则$a^{2} + b^{2} = $(
A.3
B.6
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
B
)A.3
B.6
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
答案
B
解析
设$x = a^{2} + b^{2}$，则原式可化为$(x + 1)(x - 1) = 35$，即$x^{2} - 1 = 35$，$x^{2} = 36$，解得$x = 6$或$x = -6$。因为$a^{2} + b^{2} \geq 0$，所以$x = 6$，即$a^{2} + b^{2} = 6$。
9. 阅读材料：
若$m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,求$m$,$n$的值。
解：$\because m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,
$\therefore (m^{2} - 2mn + n^{2}) + (n^{2} - 8n + 16) = 0$。
$\therefore (m - n)^{2} + (n - 4)^{2} = 0$。
$\therefore (m - n)^{2} = 0$,$(n - 4)^{2} = 0$。
$\therefore n = 4$,$m = 4$。
根据以上材料,探究下面的问题：
(1)若$a^{2} + b^{2} - 2a + 1 = 0$,则$a = $
(2)已知$x^{2} + 2y^{2} - 2xy - 6y + 9 = 0$,求$x^{y}$的值。
若$m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,求$m$,$n$的值。
解：$\because m^{2} - 2mn + 2n^{2} - 8n + 16 = 0$,
$\therefore (m^{2} - 2mn + n^{2}) + (n^{2} - 8n + 16) = 0$。
$\therefore (m - n)^{2} + (n - 4)^{2} = 0$。
$\therefore (m - n)^{2} = 0$,$(n - 4)^{2} = 0$。
$\therefore n = 4$,$m = 4$。
根据以上材料,探究下面的问题：
(1)若$a^{2} + b^{2} - 2a + 1 = 0$,则$a = $
1
,$b = $0
。(2)已知$x^{2} + 2y^{2} - 2xy - 6y + 9 = 0$,求$x^{y}$的值。
27
答案
(1)$1$，$0$；(2)$27$
解析
(1)
$a^{2}+b^{2}-2a + 1 = 0$，将其进行配方：
$(a^{2}-2a + 1)+b^{2}=0$，即$(a - 1)^{2}+b^{2}=0$。
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，所以$(a - 1)^{2}=0$且$b^{2}=0$，可得$a-1 = 0$，$b = 0$，即$a=1$，$b = 0$。
(2)
$x^{2}+2y^{2}-2xy - 6y+9 = 0$，将其分组配方：
$(x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}-6y + 9)=0$，即$(x - y)^{2}+(y - 3)^{2}=0$。
因为$(x - y)^{2}\geq0$，$(y - 3)^{2}\geq0$，要使两个非负数的和为$0$，则$(x - y)^{2}=0$且$(y - 3)^{2}=0$，所以$y-3 = 0$，$x - y=0$，解得$y = 3$，$x = 3$。
则$x^{y}=3^{3}=27$。
$a^{2}+b^{2}-2a + 1 = 0$，将其进行配方：
$(a^{2}-2a + 1)+b^{2}=0$，即$(a - 1)^{2}+b^{2}=0$。
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，所以$(a - 1)^{2}=0$且$b^{2}=0$，可得$a-1 = 0$，$b = 0$，即$a=1$，$b = 0$。
(2)
$x^{2}+2y^{2}-2xy - 6y+9 = 0$，将其分组配方：
$(x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}-6y + 9)=0$，即$(x - y)^{2}+(y - 3)^{2}=0$。
因为$(x - y)^{2}\geq0$，$(y - 3)^{2}\geq0$，要使两个非负数的和为$0$，则$(x - y)^{2}=0$且$(y - 3)^{2}=0$，所以$y-3 = 0$，$x - y=0$，解得$y = 3$，$x = 3$。
则$x^{y}=3^{3}=27$。
