8. 如图所示,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A= ∠ABD,若AC= 8,BC= 5,则BD的长为.

3/2

延长BD交AC于点E。
∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD。
∵BD⊥CD，∴∠CDE=∠CDB=90°。
在△CDE和△CDB中，∠ECD=∠BCD，CD=CD，∠CDE=∠CDB，∴△CDE≌△CDB（ASA）。
∴CE=BC=5，DE=BD。
∵AC=8，∴AE=AC-CE=8-5=3。
∵∠A=∠ABD，设∠A=∠ABD=α，则∠ABE=α，∴△ABE中，∠A=∠ABE，∴AE=BE（等角对等边）。
∵BE=BD+DE=BD+BD=2BD，∴2BD=AE=3，∴BD=3/2。

9. 如图所示,在四边形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC.
(1)求证：∠BAD= 2∠MAN；
(2)连接BD,若∠MAN= 70°,∠DBC= 40°,求∠ABC的度数.

(1)见证明；(2)60°

(1)证明：
∵M，N分别是CD，BC中点，AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AM垂直平分CD，AN垂直平分BC，
∴AC=AD，AC=AB，即AB=AC=AD。
∵AN⊥BC，AB=AC，∴AN平分∠BAC，即∠BAC=2∠CAN。
∵AM⊥CD，AD=AC，∴AM平分∠DAC，即∠DAC=2∠CAM。
∵∠MAN=∠CAN+∠CAM，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=2(∠CAN+∠CAM)=2∠MAN。
(2)解：
∵∠MAN=70°，由(1)得∠BAD=2∠MAN=140°。
∵AM⊥CD，AN⊥BC，∴∠ANC=∠AMC=90°，
∴∠C=180°-∠MAN=110°（四边形ANCM内角和360°）。
在△BCD中，∠DBC=40°，∠BCD=110°，
∴∠BDC=180°-40°-110°=30°。
∵AB=AC=AD，∴AB=AD，△ABD为等腰三角形，
∠ABD=∠ADB。设∠ABD=∠ADB=x，
则∠BAD+2x=180°，即140°+2x=180°，解得x=20°。
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC=20°+40°=60°。

10. 如图所示,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 16 cm,BC= 12 cm,AC= 20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)BP= (用含t的代数式表示).
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?

(3)当点Q在边CA上运动时,出发多少秒后,△BCQ是以BC为底边的等腰三角形?

(4)当点Q在边CA上运动时,出发多少秒后,△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形? 直接写出结果.

（1）
$BP = 16 - t$
（2）
当点Q在BC上运动时，$0 \leq t \leq 6$，此时$BQ = 2t$，$BP = 16 - t$。
$\triangle PQB$中，$\angle B = 90°$，要使$\triangle PQB$为等腰三角形，需两直角边相等，即$BP = BQ$。
$\therefore 16 - t = 2t$，解得$t = \frac{16}{3}$。
$\because \frac{16}{3} ＜ 6$，符合题意。
$\therefore t = \frac{16}{3}$
（3）
当点Q在CA上运动时，$6 \leq t \leq 16$，此时$CQ = 2t - 12$（Q运动总路程为$2t$，其中BC段12cm）。
$\triangle BCQ$以BC为底边时，需$QB = QC$，即Q为BC垂直平分线与CA的交点。
$\because BC = 12$，BC中点到C的距离为6，由相似或勾股定理可得$CQ = 10$。
$\therefore 2t - 12 = 10$，解得$t = 11$。
$\because 6 \leq 11 \leq 16$，符合题意。
$\therefore t = 11$
（4）
$t = 12$