23. 如图所示,已知抛物线$y= -x^2+mx+3与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,点$B的坐标为(3,0)$.
(1)求$m$的值及抛物线的顶点坐标.
(2)$P是抛物线对称轴l$上的一个动点,当$PA+PC$的值最小时,求点$P$的坐标.

(1)解：将点B(3,0)代入抛物线y=-x²+mx+3，得
0=-3²+3m+3
0=-9+3m+3
3m=6
m=2
抛物线解析式为y=-x²+2x+3
y=-(x²-2x)+3=-(x-1)²+4
顶点坐标为(1,4)
(2)解：令y=0，则-x²+2x+3=0
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x₁=3，x₂=-1
∴A(-1,0)
抛物线对称轴为直线x=1
点A关于对称轴x=1的对称点为A'(3,0)，即点B
连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC的值最小
令x=0，则y=3，∴C(0,3)
设直线BC的解析式为y=kx+b
将B(3,0)，C(0,3)代入
3k+b=0
b=3
解得k=-1，b=3
∴直线BC的解析式为y=-x+3
当x=1时，y=-1+3=2
∴点P的坐标为(1,2)

24. 某电商销售一款秋季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件.通过市场调研发现,该时装单价每降低1元,每天的销售量增加4件.
(1)自降价第一天起的30天内,该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？
(2)为了回馈社会,自降价第一天起的30天内,该电商决定每销售一件时装,向希望工程捐$a$元.要使每天捐款后的利润随天数$t$($t$为正整数)的增大而增大,求$a$的取值范围.

(1)设第$t$天的利润为$W$元，$t$为正整数且$1\leqslant t\leqslant30$。
由题意，单价降低$t$元，售价为$(110 - t)$元，销量为$(20 + 4t)$件。
$W=(110 - t - 40)(20 + 4t)$
$=(70 - t)(20 + 4t)$
$=1400 + 280t - 20t - 4t^2$
$=-4t^2 + 260t + 1400$
$=-4(t^2 - 65t) + 1400$
$=-4\left(t^2 - 65t + \frac{4225}{4} - \frac{4225}{4}\right) + 1400$
$=-4\left(t - \frac{65}{2}\right)^2 + 4225 + 1400$
$=-4\left(t - 32.5\right)^2 + 5625$
因为$t$为正整数且$1\leqslant t\leqslant30$，抛物线开口向下，对称轴为$t = 32.5$，所以在$1\leqslant t\leqslant30$范围内，$W$随$t$的增大而增大。
当$t = 30$时，$W=-4×(30 - 32.5)^2 + 5625=-4×6.25 + 5625=-25 + 5625=5600$。
答：第30天的利润最大，最大利润是5600元。
(2)设每天捐款后的利润为$W'$元。
$W'=(110 - t - 40 - a)(20 + 4t)$
$=(70 - a - t)(20 + 4t)$
$=20(70 - a) + 4t(70 - a) - 20t - 4t^2$
$=-4t^2 + [4(70 - a) - 20]t + 20(70 - a)$
$=-4t^2 + (280 - 4a - 20)t + 1400 - 20a$
$=-4t^2 + (260 - 4a)t + 1400 - 20a$
抛物线开口向下，对称轴为$t=-\frac{260 - 4a}{2×(-4)}=\frac{260 - 4a}{8}=\frac{65 - a}{2}$。
要使$W'$随$t$的增大而增大（$1\leqslant t\leqslant30$），则对称轴$t\geqslant30$，即$\frac{65 - a}{2}\geqslant30$，$65 - a\geqslant60$，$a\leqslant5$。
又因为$70 - a - t ＞ 0$（售价不能低于成本且捐款后仍有利润，此处简化为售价大于成本，即$110 - t - a ＞ 40$，$70 - a - t ＞ 0$，当$t = 30$时，$70 - a - 30 ＞ 0$，$a ＜ 40$，结合前面$a\leqslant5$，所以$a$的取值范围是$a\leqslant5$）。
答：$a$的取值范围是$a\leqslant5$。