23. (本题 12 分)
阅读学习:
已知$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$ 的值.
解:由$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{3}$知 $x\neq0$,所以$\frac{x^{2}+1}{x}= 3$. 即 $x+\frac{1}{x}= 3$,
所以$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2= 3^{2}-2= 7$.
故$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$ 的值为$\frac{1}{7}$.
类比探究:
(1) 上题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}= -1$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}-7x^{2}+1}$ 的值.
拓展延伸:
(2) 已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= \frac{1}{3}$,$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{1}{4}$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}= \frac{1}{6}$,求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$ 的值.

(1)
由$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=-1$，因为$x\neq0$（若$x = 0$，$\frac{0}{0 - 0+1}=0\neq-1$），等式两边同时取倒数得：
$\frac{x^{2}-3x + 1}{x}=-1$，即$x - 3+\frac{1}{x}=-1$，所以$x+\frac{1}{x}=2$。
$\frac{x^{4}-7x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}-7+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2 - 7=2^{2}-2 - 7=-5$。
故$\frac{x^{2}}{x^{4}-7x^{2}+1}=-\frac{1}{5}$。
(2)
由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6}$，
三式相加得：$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{4 + 3+2}{12}=\frac{3}{4}$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{8}$。
而$\frac{ab + bc + ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{8}$，
所以$\frac{abc}{ab + bc + ac}=\frac{8}{3}$。
综上，答案为(1)$-\frac{1}{5}$；(2)$\frac{8}{3}$。