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6. 已知多项式$4x^{2} - (y - z)^{2}的一个因式为2x - y + z$,则另一个因式是(
A.$2x - y - z$
B.$2x - y + z$
C.$2x + y + z$
D.$2x + y - z$
D
)A.$2x - y - z$
B.$2x - y + z$
C.$2x + y + z$
D.$2x + y - z$
答案
D
解析
原多项式为 $4x^{2} - (y - z)^{2}$，可以将其视为平方差的形式，即 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
在这里，$a = 2x$，$b = y - z$。
根据平方差公式，原多项式可以分解为：
$4x^{2} - (y - z)^{2} = (2x + y - z)(2x - y + z)$，
已知其中一个因式为 $2x - y + z$，则另一个因式为 $2x + y - z$。
在这里，$a = 2x$，$b = y - z$。
根据平方差公式，原多项式可以分解为：
$4x^{2} - (y - z)^{2} = (2x + y - z)(2x - y + z)$，
已知其中一个因式为 $2x - y + z$，则另一个因式为 $2x + y - z$。
7. 若关于$x的方程\frac{2}{x - 2} + \frac{x + m}{2 - x} = 2$的解为正数,则$m$的取值范围是(
A.$m ＜ 6$
B.$m ＞ - 6$
C.$m ＜ 6且m \neq 0$
D.$m ＜ 6且m \neq 4$
C
)A.$m ＜ 6$
B.$m ＞ - 6$
C.$m ＜ 6且m \neq 0$
D.$m ＜ 6且m \neq 4$
答案
C
解析
方程化简为$\frac{2}{x-2}-\frac{x+m}{x-2}=2$，合并分子得$\frac{2 - x - m}{x - 2}=2$。两边乘$x - 2$得$-x + 2 - m = 2(x - 2)$，解得$x=2-\frac{m}{3}$。
因解为正数，$2-\frac{m}{3}＞0$，得$m＜6$。
又分母不为0，$x≠2$，即$2-\frac{m}{3}≠2$，解得$m≠0$。
综上，$m＜6$且$m≠0$。
因解为正数，$2-\frac{m}{3}＞0$，得$m＜6$。
又分母不为0，$x≠2$，即$2-\frac{m}{3}≠2$，解得$m≠0$。
综上，$m＜6$且$m≠0$。
8. $2^{48} - 1$能被 60 到 70 之间的某两个整数整除,则这两个数是(
A.61 和 63
B.63 和 65
C.65 和 67
D.64 和 67
B
)A.61 和 63
B.63 和 65
C.65 和 67
D.64 和 67
答案
B
解析
原式 $2^{48} - 1$ 可以利用平方差公式进行因式分解。
首先，将 $2^{48} - 1$ 视为 $(2^{24})^2 - 1^2$，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得到：
$2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{24} - 1)$
接着，对 $2^{24} - 1$ 再次应用平方差公式，视为 $(2^{12})^2 - 1^2$，得到：
$2^{24} - 1 = (2^{12} + 1)(2^{12} - 1)$
同理，对 $2^{12} - 1$ 应用平方差公式，得到：
$2^{12} - 1 = (2^6 + 1)(2^6 - 1)$
将上述三个因式相乘，得到：
$2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^6 + 1)(2^6 - 1)$
计算 $2^6 + 1$ 和 $2^6 - 1$ 的值，分别为 65 和 63。
由于题目要求找到 60 到 70 之间的两个整数，因此这两个数为 63 和 65。
首先，将 $2^{48} - 1$ 视为 $(2^{24})^2 - 1^2$，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得到：
$2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{24} - 1)$
接着，对 $2^{24} - 1$ 再次应用平方差公式，视为 $(2^{12})^2 - 1^2$，得到：
$2^{24} - 1 = (2^{12} + 1)(2^{12} - 1)$
同理，对 $2^{12} - 1$ 应用平方差公式，得到：
$2^{12} - 1 = (2^6 + 1)(2^6 - 1)$
将上述三个因式相乘，得到：
$2^{48} - 1 = (2^{24} + 1)(2^{12} + 1)(2^6 + 1)(2^6 - 1)$
计算 $2^6 + 1$ 和 $2^6 - 1$ 的值，分别为 65 和 63。
由于题目要求找到 60 到 70 之间的两个整数，因此这两个数为 63 和 65。
9. 若一组数据：$x$,3,1,6,3 的中位数和平均数相等,则$x$的值为(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
该组数据有5个数，中位数为排序后第3个数。已知数据为x,3,1,6,3，总和为x+1+3+3+6=x+13，平均数为(x+13)/5。
分情况讨论x对排序的影响：
当x≤1时，排序为x,1,3,3,6，中位数=3；
当1＜x＜3时，排序为1,x,3,3,6，中位数=3；
当3≤x≤6时，排序为1,3,3,x,6，中位数=3；
当x＞6时，排序为1,3,3,6,x，中位数=3。
综上，无论x取何值，中位数恒为3。令平均数=中位数，即(x+13)/5=3，解得x=2。
分情况讨论x对排序的影响：
当x≤1时，排序为x,1,3,3,6，中位数=3；
当1＜x＜3时，排序为1,x,3,3,6，中位数=3；
当3≤x≤6时，排序为1,3,3,x,6，中位数=3；
当x＞6时，排序为1,3,3,6,x，中位数=3。
综上，无论x取何值，中位数恒为3。令平均数=中位数，即(x+13)/5=3，解得x=2。
10. 八年级一班、二班学生的数学期中成绩(满分：100 分)统计如下：
小明由此得到如下结论,其中不一定正确的是(
A.一班、二班学生成绩的平均数相同
B.二班优生多于一班(优生成绩为 85 分或 85 分以上)
C.二班成绩比一班整齐
D.成绩为 78 分的学生二班比一班多
小明由此得到如下结论,其中不一定正确的是(
D
)A.一班、二班学生成绩的平均数相同
B.二班优生多于一班(优生成绩为 85 分或 85 分以上)
C.二班成绩比一班整齐
D.成绩为 78 分的学生二班比一班多
答案
D
解析
A.两班平均分均为80，A正确；B.一班中位数84（第26名84分），优生最多25人；二班中位数86（第26名86分），优生至少26人，B正确；C.二班方差161＜一班186，成绩更整齐，C正确；D.众数仅表示本班出现次数最多，二班78分次数未必多于一班，D不一定正确。
11. 把多项式$mn^{2} - 6mn + 9m$分解因式的结果是
$m(n - 3)^{2}$
.答案
$m(n - 3)^{2}$
解析
首先提取公因式$m$，得到：
$mn^{2} - 6mn + 9m = m(n^{2} - 6n + 9)$
观察括号内的多项式，它是一个完全平方的形式，即：
$n^{2} - 6n + 9 = (n - 3)^{2}$
所以，原式可以进一步分解为：
$m(n^{2} - 6n + 9) = m(n - 3)^{2}$
$mn^{2} - 6mn + 9m = m(n^{2} - 6n + 9)$
观察括号内的多项式，它是一个完全平方的形式，即：
$n^{2} - 6n + 9 = (n - 3)^{2}$
所以，原式可以进一步分解为：
$m(n^{2} - 6n + 9) = m(n - 3)^{2}$
12. 多项式$ax^{2} - a与多项式2x^{2} - 4x + 2$的公因式是
$x - 1$
.答案
$x - 1$
解析
首先，对多项式 $ax^{2} - a$ 进行因式分解，得到 $a(x^{2} - 1) = a(x + 1)(x - 1)$。
然后，对多项式 $2x^{2} - 4x + 2$ 进行因式分解，得到 $2(x^{2} - 2x + 1) = 2(x - 1)^{2}$。
通过比较两个多项式的因式，可以发现它们的公因式是 $x - 1$，由于题目问公因式，系数不作为公因式比较内容，所以公因式为$x-1$。
然后，对多项式 $2x^{2} - 4x + 2$ 进行因式分解，得到 $2(x^{2} - 2x + 1) = 2(x - 1)^{2}$。
通过比较两个多项式的因式，可以发现它们的公因式是 $x - 1$，由于题目问公因式，系数不作为公因式比较内容，所以公因式为$x-1$。
13. 已知$a$,$b$,$c是三角形ABC$的三边长,且$b^{2} + 2ab = c^{2} + 2ac$,则三角形$ABC$是
等腰
三角形.答案
等腰（题目要求填ABCD的话则根据选项，此处应填对应等腰三角形的选项，假设选项A为等腰三角形，则填A）
解析
由已知 $b^{2} + 2ab = c^{2} + 2ac$，
移项得：$b^{2} - c^{2} + 2ab - 2ac = 0$，
因式分解得：$(b - c)(b + c) + 2a(b - c) = 0$，
提取公因式得：$(b - c)(b + c + 2a) = 0$，
由于 $a$, $b$, $c$ 是三角形ABC的三边长，所以 $b + c + 2a \neq 0$，
因此，$b - c = 0$，
得出 $b = c$，
所以三角形ABC是等腰三角形。
移项得：$b^{2} - c^{2} + 2ab - 2ac = 0$，
因式分解得：$(b - c)(b + c) + 2a(b - c) = 0$，
提取公因式得：$(b - c)(b + c + 2a) = 0$，
由于 $a$, $b$, $c$ 是三角形ABC的三边长，所以 $b + c + 2a \neq 0$，
因此，$b - c = 0$，
得出 $b = c$，
所以三角形ABC是等腰三角形。
14. $2^{64} - 8^{16}$可以被 10 和 20 之间的某两个连续奇数整除,则这两个数是
15和17
.答案
15和17（或 17 和 15 的顺序也可）。
解析
首先，将$8^{16}$转化为以2为底数的形式，
由于$8 = 2^3$，所以$8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$，
则原式可以写为$2^{64} - 2^{48}$，
接下来，提取公因子$2^{48}$，得到：
$2^{64} - 2^{48} = 2^{48} × (2^{16} - 1)$，
再利用平方差公式，将$2^{16} - 1$分解为：
$2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1)$，
继续分解$2^8 - 1$，得到：
$2^8 - 1 = (2^4 + 1)(2^4 - 1)$，
最后，分解$2^4 - 1$，得到：
$2^4 - 1 = (2^2 + 1)(2^2 - 1)=5× 3$，
所以，
$2^{64} - 8^{16} = 2^{48} × (2^8 + 1) × 17 × 5× 3$，
$ = 2^{48} × 257 × 17 × 15$，
在10和20之间的数有$ 15,17$两个连续奇数，
所以这两个数是15，17。
由于$8 = 2^3$，所以$8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$，
则原式可以写为$2^{64} - 2^{48}$，
接下来，提取公因子$2^{48}$，得到：
$2^{64} - 2^{48} = 2^{48} × (2^{16} - 1)$，
再利用平方差公式，将$2^{16} - 1$分解为：
$2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1)$，
继续分解$2^8 - 1$，得到：
$2^8 - 1 = (2^4 + 1)(2^4 - 1)$，
最后，分解$2^4 - 1$，得到：
$2^4 - 1 = (2^2 + 1)(2^2 - 1)=5× 3$，
所以，
$2^{64} - 8^{16} = 2^{48} × (2^8 + 1) × 17 × 5× 3$，
$ = 2^{48} × 257 × 17 × 15$，
在10和20之间的数有$ 15,17$两个连续奇数，
所以这两个数是15，17。
15. 已知$S_{1} = a + 1$($a$不取 0 和 - 1),$S_{2} = \frac{1}{1 - S_{1}}$,$S_{3} = \frac{1}{1 - S_{2}}$,$S_{4} = \frac{1}{1 - S_{3}}$,…按此规律,请用含$a的代数式表示S_{2022}$ =
$\frac{a}{a + 1}$
.答案
$\frac{a}{a + 1}$
解析
由题意得：
$S_1 = a + 1$；
$S_2 = \frac{1}{1 - S_1} = \frac{1}{1 - (a + 1)} = \frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$；
$S_3 = \frac{1}{1 - S_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{a})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = \frac{a}{a + 1}$；
$S_4 = \frac{1}{1 - S_3} = \frac{1}{1 - \frac{a}{a + 1}} = a + 1 = S_1$，
故规律为周期循环，周期为3。
$2022 ÷ 3 = 674$，余数为0，
$\therefore S_{2022} = S_3 = \frac{a}{a + 1}$。
$S_1 = a + 1$；
$S_2 = \frac{1}{1 - S_1} = \frac{1}{1 - (a + 1)} = \frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$；
$S_3 = \frac{1}{1 - S_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{a})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = \frac{a}{a + 1}$；
$S_4 = \frac{1}{1 - S_3} = \frac{1}{1 - \frac{a}{a + 1}} = a + 1 = S_1$，
故规律为周期循环，周期为3。
$2022 ÷ 3 = 674$，余数为0，
$\therefore S_{2022} = S_3 = \frac{a}{a + 1}$。
