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(1) 从下图中点的排列规律可以看出,第 5 幅图共有(
41
)个点,第 n 幅图共有(1+2n(n-1)
)个点。答案
41；1+2n(n-1)
解析
观察点的排列规律，第1幅图1个点，第2幅图1+4=5个点，第3幅图1+4+8=13个点，第4幅图1+4+8+12=25个点，第5幅图1+4+8+12+16=41个点。分析可得，第n幅图共有1+4×(1+2+3+…+(n-1))=1+4×(n-1)n/2=1+2n(n-1)个点。
(2)
照这样画下去,第 6 个图形中有(
照这样画下去,第 6 个图形中有(
21
)个蓝色小三角形和(28
)个白色小三角形,第 10 个图形中有(55
)个蓝色小三角形和(66
)个白色小三角形。答案
21,28,55,66
解析
蓝色小三角形数量规律为第n个图形有n(n+1)/2个。第6个：6×7/2=21；第10个：10×11/2=55。白色小三角形数量规律为第n个图形有(n+1)(n+2)/2个。第6个：7×8/2=28；第10个：11×12/2=66。
(3) 数形结合是一种重要的数学思想,认真观察图形,然后完成下列题目。
$1 + 3 + 5 + 7 = $(
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = $(
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1) = $(
$1 + 3 + 5 + 7 = $(
16
)$=$($4^2$
)；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = $(
25
)$=$($5^2$
)；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1) = $(
$n^2$
)；答案
$1 + 3 + 5 + 7 = (16) = (4^2)$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (25) = (5^2)$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1) = (n^2)$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (25) = (5^2)$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1) = (n^2)$；
解析
观察给出的等式：
$1 + 3 = 4 = 2^2$，
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$，
可以发现，连续奇数的和等于奇数个数的平方。
对于 $1 + 3 + 5 + 7$，有4个奇数，所以和为 $4^2 = 16$。
对于 $1 + 3 + 5 + 7 + 9$，有5个奇数，所以和为 $5^2 = 25$。
对于 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1)$，有n个奇数，所以和为 $n^2$。
$1 + 3 = 4 = 2^2$，
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$，
可以发现，连续奇数的和等于奇数个数的平方。
对于 $1 + 3 + 5 + 7$，有4个奇数，所以和为 $4^2 = 16$。
对于 $1 + 3 + 5 + 7 + 9$，有5个奇数，所以和为 $5^2 = 25$。
对于 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n - 1)$，有n个奇数，所以和为 $n^2$。
2. 小玉一家三口一起步行到离家 $ 1000 \, m $ 远的 3D 魔幻趣味馆,用时 25 分钟。妈妈到了趣味馆后因有急事直接返回家里,用时 15 分钟。小玉和爸爸体验半小时后,小玉跑步回家,用了 10 分钟,爸爸步行回家,用了 20 分钟。下面三幅图中分别描述的是谁离家时间和离家距离的关系？(填名字)
爸爸
妈妈
小玉
答案
爸爸；妈妈；小玉
3. 华罗庚在解释“数”和“形”的关系时说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微。”你能利用下图证明 $ (a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd $ 这一公式吗？请利用你学过的计算面积的知识探索一下。(写出推导过程)
答案
1. 大长方形的长为$c + d$，宽为$a + b$，根据长方形面积公式，其面积为$(a + b)×(c + d)$。
2. 大长方形被分割成四个小长方形，面积分别为：左上角$ac$，右上角$ad$，左下角$bc$，右下角$bd$。
3. 四个小长方形面积之和为$ac + ad + bc + bd$。
4. 因为大长方形面积等于四个小长方形面积之和，所以$(a + b)×(c + d)=ac + ad + bc + bd$。
2. 大长方形被分割成四个小长方形，面积分别为：左上角$ac$，右上角$ad$，左下角$bc$，右下角$bd$。
3. 四个小长方形面积之和为$ac + ad + bc + bd$。
4. 因为大长方形面积等于四个小长方形面积之和，所以$(a + b)×(c + d)=ac + ad + bc + bd$。
