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15. 若单项式 $ - x ^ { m - 2 } y ^ { 3 } $ 与 $ \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 m } y ^ { 2 m + n } $ 的和仍是单项式,则 $ m ^ { n - 6 } $ 的值为
-2
。答案
-2
解析
因为单项式$-x^{m - 2}y^{3}$与$\frac{2}{3}x^{2m}y^{2m + n}$的和仍是单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$\begin{cases}m - 2 = 2m\\3 = 2m + n\end{cases}$
解第一个方程：$m - 2 = 2m$，移项得$m - 2m = 2$，即$-m = 2$，解得$m=-2$。
将$m = -2$代入第二个方程：$3 = 2×(-2)+n$，即$3=-4 + n$，解得$n = 7$。
则$m^{n - 6}=(-2)^{7 - 6}=(-2)^1=-2$
$-2$
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$\begin{cases}m - 2 = 2m\\3 = 2m + n\end{cases}$
解第一个方程：$m - 2 = 2m$，移项得$m - 2m = 2$，即$-m = 2$，解得$m=-2$。
将$m = -2$代入第二个方程：$3 = 2×(-2)+n$，即$3=-4 + n$，解得$n = 7$。
则$m^{n - 6}=(-2)^{7 - 6}=(-2)^1=-2$
$-2$
16. 若 $ 2 a ^ { 3 m - 1 } b ^ { 3 } $ 与 $ \frac { 1 } { 4 } a ^ { 5 } b ^ { 2 n + 1 } $ 的和仍是单项式,则 $ 5 m + 6 n $ 的值为
16
。答案
16
解析
因为$2a^{3m - 1}b^{3}$与$\frac{1}{4}a^{5}b^{2n + 1}$的和仍是单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$3m - 1 = 5$，解得$3m = 6$，$m = 2$；
$2n + 1 = 3$，解得$2n = 2$，$n = 1$。
则$5m + 6n = 5×2 + 6×1 = 10 + 6 = 16$。
16
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$3m - 1 = 5$，解得$3m = 6$，$m = 2$；
$2n + 1 = 3$，解得$2n = 2$，$n = 1$。
则$5m + 6n = 5×2 + 6×1 = 10 + 6 = 16$。
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17. 根据题意列出整式,是单项式的,指出它的次数；是多项式的,指出它的次数和项数。
(1)$1$ $kg$ 大米的售价为 $6.2$ 元,求 $x$ $kg$ 大米的售价；
(2)如图,求阴影部分的面积。
(1)$1$ $kg$ 大米的售价为 $6.2$ 元,求 $x$ $kg$ 大米的售价；
(2)如图,求阴影部分的面积。
答案
解:
(1)售价为 6.2x 元,单项式 6.2x 的次数是 1。
(2)阴影部分的面积为$(x^{2}+3x+6)m^{2}$,多项式$x^{2}+3x+6$的次数是 2,项数是 3。
(1)售价为 6.2x 元,单项式 6.2x 的次数是 1。
(2)阴影部分的面积为$(x^{2}+3x+6)m^{2}$,多项式$x^{2}+3x+6$的次数是 2,项数是 3。
18. 设 $a$ 表示一个两位数,$b$ 表示一个三位数,把 $a$ 放在 $b$ 的左边,组成一个五位数 $x$,把 $b$ 放在 $a$ 的左边,组成另一个五位数 $y$,试问 $9$ 能否整除 $x - y$？请说明理由。
答案
能。
理由：
∵$a$是两位数，$b$是三位数，
∴$x = 1000a + b$，$y = 100b + a$，
$x - y = (1000a + b) - (100b + a) = 999a - 99b = 9(111a - 11b)$，
∵$a$，$b$是整数，
∴$111a - 11b$是整数，
∴$x - y$是$9$的倍数，即$9$能整除$x - y$。
理由：
∵$a$是两位数，$b$是三位数，
∴$x = 1000a + b$，$y = 100b + a$，
$x - y = (1000a + b) - (100b + a) = 999a - 99b = 9(111a - 11b)$，
∵$a$，$b$是整数，
∴$111a - 11b$是整数，
∴$x - y$是$9$的倍数，即$9$能整除$x - y$。
(数学应用)如图所示的是一扇窗户的示意图,上部是半圆形,下部是四个边长相等的小正方形。
(1)计算窗户的面积及窗框的总长；
(2)当 $a = 50$ $cm$ 时,窗户的面积及窗框的总长分别是多少($\pi$ 取 $3.14$)？
(1)计算窗户的面积及窗框的总长；
(2)当 $a = 50$ $cm$ 时,窗户的面积及窗框的总长分别是多少($\pi$ 取 $3.14$)？
答案
解:
(1)窗户的面积为$2a\cdot 2a+\frac{1}{2}\pi a^{2}=4a^{2}+\frac{1}{2}\pi a^{2}=(4+\frac{1}{2}\pi)a^{2}$,窗框的总长为$2a× 6+\frac{1}{2}× 2\pi a+3a=12a+\pi a+3a=(15+\pi)a$。
(2)当$a=50\ cm$时,窗户的面积为$(4+\frac{1}{2}× 3.14)× 50^{2}=13925(cm^{2})$,窗框的总长为$(15+3.14)× 50=907(cm)$。
(1)窗户的面积为$2a\cdot 2a+\frac{1}{2}\pi a^{2}=4a^{2}+\frac{1}{2}\pi a^{2}=(4+\frac{1}{2}\pi)a^{2}$,窗框的总长为$2a× 6+\frac{1}{2}× 2\pi a+3a=12a+\pi a+3a=(15+\pi)a$。
(2)当$a=50\ cm$时,窗户的面积为$(4+\frac{1}{2}× 3.14)× 50^{2}=13925(cm^{2})$,窗框的总长为$(15+3.14)× 50=907(cm)$。
