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6. 先化简,再求值.
$(\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}-\frac {x+1}{x-1})÷ \frac {x-3}{x-1}$,其中$x= 2\sqrt {2}\sin 45^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ }$.
$(\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}-\frac {x+1}{x-1})÷ \frac {x-3}{x-1}$,其中$x= 2\sqrt {2}\sin 45^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ }$.
答案
4
解析
首先，我们化简给定的分式：
$(\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}-\frac {x+1}{x-1}) ÷ \frac {x-3}{x-1}$
对于第一个分式，我们进行因式分解：
$x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
所以，原式可以写作：
$\frac {(x - 3)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac {x + 1}{x - 1}$
由于分子分母都含有$x + 1$，可以约分，得到：
$\frac {x - 3}{x - 1} - \frac {x + 1}{x - 1} = \frac {-4}{x - 1}$
接下来，我们将上述结果与$\frac {x-3}{x-1}$进行除法运算，即：
$\frac {-4}{x - 1} ÷ \frac {x-3}{x-1} = \frac {-4}{x - 1} \cdot \frac {x-1}{x-3} = \frac {4}{3-x}$
然后，我们计算$x$的值：
$x = 2\sqrt {2}\sin 45^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ } = 2\sqrt {2} × \frac {\sqrt {2}}{2} × 1 = 2$
最后，将$x = 2$代入化简后的分式中，得到：
$\frac {4}{3-2} = 4$
$(\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}-1}-\frac {x+1}{x-1}) ÷ \frac {x-3}{x-1}$
对于第一个分式，我们进行因式分解：
$x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
所以，原式可以写作：
$\frac {(x - 3)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac {x + 1}{x - 1}$
由于分子分母都含有$x + 1$，可以约分，得到：
$\frac {x - 3}{x - 1} - \frac {x + 1}{x - 1} = \frac {-4}{x - 1}$
接下来，我们将上述结果与$\frac {x-3}{x-1}$进行除法运算，即：
$\frac {-4}{x - 1} ÷ \frac {x-3}{x-1} = \frac {-4}{x - 1} \cdot \frac {x-1}{x-3} = \frac {4}{3-x}$
然后，我们计算$x$的值：
$x = 2\sqrt {2}\sin 45^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ } = 2\sqrt {2} × \frac {\sqrt {2}}{2} × 1 = 2$
最后，将$x = 2$代入化简后的分式中，得到：
$\frac {4}{3-2} = 4$
7. 如图所示,点$E是矩形ABCD中CD$边上一点,$\triangle BCE沿BE折叠为\triangle BFE$,点$F落在AD$上.
(1)求证:$\triangle ABF\backsim \triangle DFE$；
(2)若$\sin \angle DFE= \frac {1}{3}$,求$\tan \angle EBC$的值.
(1)求证:$\triangle ABF\backsim \triangle DFE$；
(2)若$\sin \angle DFE= \frac {1}{3}$,求$\tan \angle EBC$的值.
答案
(1)见解析；(2)√2/2．
解析
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，FE=CE，BC=BF．
∵∠AFD=180°，∠BFE=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°．
在Rt△ABF中，∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DFE．
∵∠A=∠D=90°，∠ABF=∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
(2)设DE=x，在Rt△DFE中，sin∠DFE=DE/FE=1/3，∴FE=3x．
由折叠得CE=FE=3x，∴CD=DE+CE=4x，∴AB=CD=4x．
在Rt△DFE中，DF=√(FE²-DE²)=√[(3x)²-x²]=2√2 x．
∵△ABF∽△DFE，∴AB/DF=BF/FE．
AB=4x，DF=2√2 x，FE=3x，∴4x/(2√2 x)=BF/(3x)，解得BF=3√2 x．
∵BF=BC，∴BC=3√2 x．
tan∠EBC=EC/BC=3x/(3√2 x)=√2/2．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，FE=CE，BC=BF．
∵∠AFD=180°，∠BFE=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°．
在Rt△ABF中，∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DFE．
∵∠A=∠D=90°，∠ABF=∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
(2)设DE=x，在Rt△DFE中，sin∠DFE=DE/FE=1/3，∴FE=3x．
由折叠得CE=FE=3x，∴CD=DE+CE=4x，∴AB=CD=4x．
在Rt△DFE中，DF=√(FE²-DE²)=√[(3x)²-x²]=2√2 x．
∵△ABF∽△DFE，∴AB/DF=BF/FE．
AB=4x，DF=2√2 x，FE=3x，∴4x/(2√2 x)=BF/(3x)，解得BF=3√2 x．
∵BF=BC，∴BC=3√2 x．
tan∠EBC=EC/BC=3x/(3√2 x)=√2/2．
8. 小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图①,如图②是晒衣架的侧面示意图,立杆$AB$,$CD相交于点O$,$B$,$D$两点立于地面,经测量:$AB= CD= 136\ cm$,$OA= OC= 51\ cm$,$OE= OF= 34\ cm$,现将晒衣架完全稳固张开,扣链$EF$成一条线段,且$EF= 32\ cm$.
(1)求证:$AC// BD$；
(2)求扣链$EF与立杆AB的夹角\angle OEF$的度数(精确到$0.1^{\circ }$)；
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到$122\ cm$,垂挂在晒衣架上是否会接触到地面？通过计算说明理由.
(可使用科学计算器)
(1)求证:$AC// BD$；
(2)求扣链$EF与立杆AB的夹角\angle OEF$的度数(精确到$0.1^{\circ }$)；
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到$122\ cm$,垂挂在晒衣架上是否会接触到地面？通过计算说明理由.
(可使用科学计算器)
答案
(1)见解析；(2)61.9°；(3)会接触地面。
解析
(1)证明：∵AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，∴OB=AB-OA=85cm，OD=CD-OC=85cm。
在△OAC和△OBD中，$\frac{OA}{OB}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$，$\frac{OC}{OD}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$，且∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△OAC∽△OBD（两边成比例且夹角相等）。
∴∠OAC=∠OBD，∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm，过O作OM⊥EF于M，
则EM=$\frac{EF}{2}=16$cm。
在Rt△OEM中，cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$，
∴∠OEF≈arccos$\frac{8}{17}$≈61.9°。
(3)解：由(1)知△OAC∽△OBD，相似比为$\frac{3}{5}$。
∵OE=34cm，OA=51cm，∴$\frac{OE}{OA}=\frac{2}{3}$，同理$\frac{OF}{OC}=\frac{2}{3}$，
∴△OEF∽△OAC，相似比为$\frac{2}{3}$。
过O作EF的垂线OM，垂足为M，OM=$\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30$cm（△OEF的高）。
∵△OAC与△OEF相似比为$\frac{3}{2}$，∴△OAC的高ON=$\frac{3}{2}OM=45$cm。
∵△OAC与△OBD相似比为$\frac{3}{5}$，△OBD的高（O到地面距离）h=$\frac{5}{3}ON=75$cm。
∴EF到地面高度=h+OM=75+30=105cm。
∵105cm＜122cm，∴会接触地面。
在△OAC和△OBD中，$\frac{OA}{OB}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$，$\frac{OC}{OD}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$，且∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△OAC∽△OBD（两边成比例且夹角相等）。
∴∠OAC=∠OBD，∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm，过O作OM⊥EF于M，
则EM=$\frac{EF}{2}=16$cm。
在Rt△OEM中，cos∠OEF=$\frac{EM}{OE}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$，
∴∠OEF≈arccos$\frac{8}{17}$≈61.9°。
(3)解：由(1)知△OAC∽△OBD，相似比为$\frac{3}{5}$。
∵OE=34cm，OA=51cm，∴$\frac{OE}{OA}=\frac{2}{3}$，同理$\frac{OF}{OC}=\frac{2}{3}$，
∴△OEF∽△OAC，相似比为$\frac{2}{3}$。
过O作EF的垂线OM，垂足为M，OM=$\sqrt{OE^2-EM^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30$cm（△OEF的高）。
∵△OAC与△OEF相似比为$\frac{3}{2}$，∴△OAC的高ON=$\frac{3}{2}OM=45$cm。
∵△OAC与△OBD相似比为$\frac{3}{5}$，△OBD的高（O到地面距离）h=$\frac{5}{3}ON=75$cm。
∴EF到地面高度=h+OM=75+30=105cm。
∵105cm＜122cm，∴会接触地面。
