9. 与幂有关的规律探究,一般是研究幂的个位数字的规律探究问题。常用的方法是先求出前几个数的个位数字,从中发现循环的规律,然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个,最终得到答案。
(1)先观察,后计算：
观察算式：$2^{1}= 2$,$2^{2}= 4$,$2^{3}= 8$,$2^{4}= 16$,$2^{5}= 32$,$2^{6}= 64$,$2^{7}= 128$,$2^{8}= 256$,$2^{9}= 512$,…
你能发现 $2^{n}$ 的个位数字是由种数字组成,分别是；$2^{2023}$ 的个位数字是。
(2)探究：$3^{2023}$ 的个位数字是多少？试着写出推导过程。

(3)直接写出 $4^{2023}-2^{2023}$ 的结果的个位数字：。

(1) $4$；$2,4,8,6$；$8$
(2) $7$
(3) $6$

(1)
观察$2^{n}$的个位数字：$2,4,8,6,2,4,8,6,\cdots$，由$4$种数字组成，分别是$2,4,8,6$；
因为$2023÷4 = 505\cdots\cdots3$，所以$2^{2023}$的个位数字是$8$。
(2)
观察$3^{n}$的个位数字：$3^{1}=3$，个位数字是$3$；$3^{2}=9$，个位数字是$9$；$3^{3}=27$，个位数字是$7$；$3^{4}=81$，个位数字是$1$；$3^{5}=243$，个位数字是$3$；$\cdots$，个位数字以$3,9,7,1$为循环节循环。
因为$2023÷4 = 505\cdots\cdots3$，所以$3^{2023}$的个位数字是$7$。
(3)
由(1)知$2^{2023}$的个位数字是$8$。
观察$4^{n}$的个位数字：$4^{1}=4$，个位数字是$4$；$4^{2}=16$，个位数字是$6$；$4^{3}=64$，个位数字是$4$；$\cdots$，个位数字以$4,6$为循环节循环。
因为$2023÷2 = 1011\cdots\cdots1$，所以$4^{2023}$的个位数字是$4$。
则$4^{2023}-2^{2023}$的结果的个位数字是$4 - 8$不够减，向十位借$1$当$10$，$14 - 8 = 6$，即个位数字是$6$。

10. 请阅读下列材料,并完成相应的任务。
形数,亦称拟形数、垛积数,是一种与图形有关的数。可能有同学感到奇怪,数怎么会有形状呢？这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起。毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数,小石子能够摆成不同的几何图形,于是产生了一系列的形数。比如,如图 1,当小石子的数目是 1,3,6,10 等数时,小石子都能摆成正三角形,这些数叫作三角形数。如图 2,当小石子的数目是 1,4,9,16 等数时,小石子都能摆成正方形,这些数叫作正方形数。除此之外,如图 3,毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数——五边形数、六边形数,并进一步发现了各种形数之间的内在联系。形数充分反映出数学内在的奥秘和魅力。值得说明的是,公元前 6 世纪纸张还没有出现,这种用小石子来研究数的性质的方法,不仅是认识数的一种简洁直观的方法,更是古希腊人的一种伟大创造。
任务：(1)根据材料图 1、图 2 中的图形及规律填写表格。

| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形数 | | | | | | |
| 正方形数 | | | | | | |

(2)如图 4,毕达哥拉斯发现两个三角形数刚好可以组成一个长方形数,由此易得 $(1 + 2 + 3 + 4 + 5)×2 = 5×6$,即 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \dfrac{5×6}{2}$。推而广之,如果三角形数有 $n$ 层,长方形数就有 $n$ 层,每层有 $(n + 1)$ 个点,于是归纳得到 $1 + 2 + 3 + … + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$,即第 $n$ 个三角形数是 $\dfrac{n(n + 1)}{2}$。
①类比归纳：第 $n$ 个正方形数是(用含 $n$ 的式子表示)。
②下列自然数中,既是三角形数又是正方形数的是()(填字母)。
A. $36$
B. $49$
C. $100$
D. $1225$

(1)
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形数 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |
| 正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
(2)
① $n^2$
② D