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1.如果一个正多边形的中心角为$72^{\circ}$,那么这个正多边形的边数是(
A.4
B.5
C.6
D.7
B
).A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，其中$n$为边数。
已知中心角为$72°$，因此：
$\frac{360°}{n}=72°$，解得$n=\frac{360°}{72°}=5$。
已知中心角为$72°$，因此：
$\frac{360°}{n}=72°$，解得$n=\frac{360°}{72°}=5$。
2.若正六边形外接圆的半径为4,则它的边长等于(
A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
A
).A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
A
解析
正六边形的外接圆半径等于其边长，已知外接圆半径为4，故边长为4。
3.边长为2的正方形内接于$\odot M$,则$\odot M$的半径是(
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
C
).A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
C
解析
正方形的对角线为圆的直径，根据勾股定理，边长为2的正方形对角线长为$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，所以$\odot M$的半径为对角线长的一半，即$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
4.已知正六边形的边长是2,则该正六边形的边心距是(
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B
).A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
B
解析
正六边形可以被划分为6个等边三角形，每个等边三角形的边长均为2。
边心距是从正六边形的中心到其边的垂直距离，也就是等边三角形的高。
对于边长为2的等边三角形，其高（即正六边形的边心距）可以通过公式计算：
$高 = 边长 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
边心距是从正六边形的中心到其边的垂直距离，也就是等边三角形的高。
对于边长为2的等边三角形，其高（即正六边形的边心距）可以通过公式计算：
$高 = 边长 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
5.如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,则$\angle ADB$的度数是(
A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$22.5^{\circ}$
B
).A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$22.5^{\circ}$
答案
【解析】：连接OA、OB、OD。正六边形ABCDEF内接于⊙O，所以AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=∠BOC=∠COD=60°（360°÷6）。∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，即AD为⊙O直径。∠ABD=90°（直径所对圆周角是直角）。在△ABD中，AB=BD（正六边形边长相等，AB=BC=CD，∠BCD=120°，△BCD为等腰三角形，BD=BC=AB），所以△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=45°。
【答案】：B
【答案】：B
6.如图,在平面直角坐标系中,正六边形$OABCDE$的边长是2,则它的外接圆圆心$P$的坐标是
(1,√3)
.答案
(1,√3)
解析
正六边形外接圆圆心即其中心，半径等于边长2。设中心为P(x,y)，顶点O(0,0)、A(2,0)为相邻顶点，OA=2。因PO=PA=2，△POA为等边三角形，中心P在OA垂直平分线上，OA中点(1,0)，故x=1。由PO=2得√(1²+y²)=2，解得y=√3（正六边形在x轴上方）。则P(1,√3)。
7.如图,$\odot O$是正五边形$ABCDE$的外接圆,则$\angle ADC$的度数是
54°
.答案
【解析】：
∵ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=(5-2)×180°/5=108°。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA=(180°-108°)/2=36°。
∵∠BCD=108°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=108°-36°=72°。
∵AD=CD（同圆中相等的弦所对的弦相等），
∴△ADC是等腰三角形，∠ADC=∠DAC=(180°-∠ACD)/2=(180°-72°)/2=54°。
【答案】：54°
∵ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=(5-2)×180°/5=108°。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA=(180°-108°)/2=36°。
∵∠BCD=108°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=108°-36°=72°。
∵AD=CD（同圆中相等的弦所对的弦相等），
∴△ADC是等腰三角形，∠ADC=∠DAC=(180°-∠ACD)/2=(180°-72°)/2=54°。
【答案】：54°
8.如图,在正六边形$ABCDEF$中,$AC=2\sqrt{3}$,则它的边长是
2
.答案
2
解析
设正六边形边长为$x$，则$AB=BC=x$，正六边形每个内角为$120°$，即$\angle ABC=120°$。在$\triangle ABC$中，由余弦定理得：$AC^2=AB^2+BC^2-2AB· BC·\cos\angle ABC$。已知$AC=2\sqrt{3}$，$\cos120°=-\frac{1}{2}$，代入得$(2\sqrt{3})^2=x^2+x^2-2x· x·(-\frac{1}{2})$，即$12=2x^2+x^2$，$3x^2=12$，$x^2=4$，解得$x=2$。
9.如图,$A,B,C,D$为一个正多边形相邻的4个顶点,$O$为正多边形的中心.若$\angle ADB=12^{\circ}$,则这个正多边形的边数为
15
.答案
15
解析
设正多边形的边数为$n$，中心角为$\alpha$，则$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$。
因为$A,B,C,D$是相邻四个顶点，所以弧$AB=$弧$BC=$弧$CD=\alpha$。
$\angle ADB$是圆周角，其所对弧为弧$AB$，根据圆周角定理，$\angle ADB=\frac{1}{2}×$弧$AB$的度数。
已知$\angle ADB=12^{\circ}$，则$\frac{1}{2}\alpha=12^{\circ}$，即$\alpha=24^{\circ}$。
又因为$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$，所以$n=\frac{360^{\circ}}{24^{\circ}}=15$。
因为$A,B,C,D$是相邻四个顶点，所以弧$AB=$弧$BC=$弧$CD=\alpha$。
$\angle ADB$是圆周角，其所对弧为弧$AB$，根据圆周角定理，$\angle ADB=\frac{1}{2}×$弧$AB$的度数。
已知$\angle ADB=12^{\circ}$，则$\frac{1}{2}\alpha=12^{\circ}$，即$\alpha=24^{\circ}$。
又因为$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$，所以$n=\frac{360^{\circ}}{24^{\circ}}=15$。
10.如图,若干相同正五边形排成环状,图中已经排好前3个五边形,还需
2
个五边形完成这一圆环.答案
2
解析
正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，其中心角（外接圆圆心角）为$\frac{360°}{5}=72°$。环状排列时，所有中心角之和为$360°$，故需正五边形个数为$\frac{360°}{72°}=5$个。已有3个，还需$5 - 3=2$个。
