13.(8分)如图,某数学兴趣小组去测量一座小山的高度,在小山顶上有一高度为$20$米的发
射塔$AB$.在山脚平地上的$D$处测得塔底$B$的仰角为$30°$,向小山前进$80$米到达点$E$处,测得塔顶$A$的仰角为$60°$.求小山$BC$的高度.

设小山$BC$的高度为$x$米，则塔顶$A$到地面的高度$AC = AB + BC = (20 + x)$米。
在$Rt\triangle AEC$中，$\angle AEC = 60°$，$\tan60°=\frac{AC}{EC}$，则$EC=\frac{AC}{\tan60°}=\frac{20 + x}{\sqrt{3}}$。
在$Rt\triangle BDC$中，$\angle BDC = 30°$，$\tan30°=\frac{BC}{DC}$，则$DC=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
因为$DC = DE + EC$，且$DE = 80$米，所以$\sqrt{3}x=80+\frac{20 + x}{\sqrt{3}}$。
两边同乘$\sqrt{3}$得：$3x=80\sqrt{3}+20 + x$，解得$2x=80\sqrt{3}+20$，$x=40\sqrt{3}+10$。
答：小山$BC$的高度为$(40\sqrt{3}+10)$米。

14.(8分)如图,在一座山的前方有一栋住宅,已知山高$AB=120 m$,楼高$CD=99 m$,某天上午
9时太阳光线从山顶点$A$处照射到住宅的点$E$处,在点$A$处测得点$E$的俯角$\angle EAM=45°$.上午10时太阳光线从山顶点$A$处照射到住宅的点$F$处,在点$A$处测得点$F$的俯角$\angle FAM=60°$.已知每层楼的高度为$3 m$,$EF=40 m$,以当天测量数据为依据,不考虑季节天气变化,至少要买该住宅的第几层楼,才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙?($\sqrt{3}\approx1.73$)

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解：
1. 构建直角三角形：过点$ A $作水平线$ AM $，交住宅$ CD $所在竖直线于点$ Q $，设山底到住宅底部的水平距离$ AQ = d $（米）。
2. 利用俯角求竖直距离：
对$ E $点：俯角$ 45° $，在$ Rt\triangle AQE $中，$ \tan 45° = \frac{QE}{AQ} $，则$ QE = AQ · \tan 45° = d $。
对$ F $点：俯角$ 60° $，在$ Rt\triangle AQF $中，$ \tan 60° = \frac{QF}{AQ} $，则$ QF = AQ · \tan 60° = d\sqrt{3} $。
3. 建立方程关系：
设$ E $、$ F $距地面高度分别为$ h_E $、$ h_F $，则$ QE = 120 - h_E = d $，$ QF = 120 - h_F = d\sqrt{3} $。
由$ EF = 40 \, m $得$ h_E - h_F = 40 $，代入得：
$ (120 - d) - (120 - d\sqrt{3}) = 40 \implies d(\sqrt{3} - 1) = 40 $
解得$ d = \frac{40}{\sqrt{3} - 1} = 20(\sqrt{3} + 1) \approx 54.6 \, m $。
4. 求$ F $点高度：
$ h_F = 120 - d\sqrt{3} = 120 - 20(\sqrt{3} + 1)\sqrt{3} = 60 - 20\sqrt{3} \approx 25.4 \, m $
5. 计算楼层：每层高$ 3 \, m $，$ 25.4 ÷ 3 \approx 8.47 $，故至少需第$ 9 $层。