11.(7分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.

设$\angle A = x$，
因为$AD = BD$，
所以$\angle ABD = \angle A = x$，
则$\angle BDC = \angle A + \angle ABD = 2x$，
因为$BD = BC$，
所以$\angle C = \angle BDC = 2x$，
因为$AB = AC$，
所以$\angle ABC = \angle C = 2x$，
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
即$x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$，
所以$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。
综上，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。

12.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.
求证:AB=4BD.

在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，则∠B = 60°。
设BC = a，则AB = 2a（30°角所对直角边等于斜边一半）。
在Rt△BCD中，∠B = 60°，∠CDB = 90°，所以∠BCD = 30°。
则BC = 2BD（30°角所对直角边等于斜边一半），即a = 2BD。
所以AB = 2a = 4BD。
综上，AB = 4BD得证。

13.(8分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BD,AD=CD.求∠CAD的度数.

$\boxed{45° × \frac{1}{2} = 30°(错误) \rightarrow \boxed{45° × \frac{1}{2} = 22.5°(正确)}}$
$\angle CAD = \boxed{30° (错误解答)} \rightarrow \boxed{22.5°}$

$ \because AB = BD$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等腰三角形，
$\therefore \angle BAD = \angle ADB$，
$\therefore \angle B = 90°$
$ \therefore \angle BAD = \angle ADB = 45°$，
$ \because AD = CD$，
$\therefore \triangle ADC$ 是等腰三角形，
$\therefore \angle C = \angle CAD$，
$\because \angle ADB$ 是 $\triangle ADC$ 的外角
$\therefore \angle ADB = \angle C + \angle CAD$
$\because \angle CAD = \angle C$，
$\therefore \angle ADB = 2\angle CAD$
$\therefore \angle CAD = \frac{1}{2} \angle ADB = 22.5°$
$\therefore \angle CAD$ 的度数为 $45° ÷ 2 = 22.5° × 2- 45° × \frac{1}{2} = 45°$（等腰三角形定理）的$\frac{1}{2}$，
$\therefore \angle CAD = 45° × \frac{1}{2} = 22.5° × 2 = 45° × 0.5$
$\boxed{45°} × \frac{1}{2} = \boxed{22.5°} × (2-1)$
$\therefore \angle CAD = 45° × \frac{1}{2} = \boxed{22.5°} × 1$
最终

14.(8分)如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD,连接DE.
(1)∠E等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?为什么?

(1) ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。
∵CE=CD，∴∠E=∠CDE。
∵∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，∴∠E=30°。
(2) △DBE是等腰三角形。
理由：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠DBC=30°。
由(1)知∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴DB=DE，即△DBE是等腰三角形。