1. 如图, 正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $, $ P $ 是 $ BA $ 延长线上的一点, 连接 $ PC $ 交 $ AD $ 于点 $ F $, $ AP = FD $. 求 $ \dfrac{AF}{AP} $ 的值.

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

设 $ AP = x $，则 $ FD = x $。
∵ 正方形 $ ABCD $ 边长为 2，∴ $ AD = 2 $，$ AF = AD - FD = 2 - x $，$ AB = 2 $，$ PB = PA + AB = x + 2 $。
∵ $ AD // BC $，∴ $ △ PAF ∼ △ PBC $（AA 相似）。
∴ $ \frac{PA}{PB} = \frac{AF}{BC} $，即 $ \frac{x}{x + 2} = \frac{2 - x}{2} $。
整理得 $ x^2 + 2x - 4 = 0 $，解得 $ x = -1 + \sqrt{5} $（负值舍去）。
∴ $ AF = 2 - x = 3 - \sqrt{5} $，$ AP = \sqrt{5} - 1 $。
∴ $ \frac{AF}{AP} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。

2. 如图, $ AB // CD $, $ BC $ 与 $ AD $ 交于点 $ O $, 过点 $ O $ 的直线分别与 $ AB $, $ CD $ 交于 $ E $, $ F $ 两点. 已知 $ BE = 3 $, $ CF = 5 $, 求 $ \dfrac{AE}{DF} $ 的值.

3/5

∵AB//CD，∴∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC（两直线平行，内错角相等），∴△BOE∽△COF（AA），∴BE/CF=OE/OF=3/5。
∵AB//CD，∴∠OAE=∠ODF，∠OEA=∠OFD（两直线平行，内错角相等），∴△AOE∽△DOF（AA），∴AE/DF=OE/OF=3/5。

3. 如图, $ P $ 是 $ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 上的一点, 连接 $ BP $ 并延长交 $ AD $ 于点 $ F $, 交 $ CD $ 的延长线于点 $ G $, 且 $ AF = 2FD $.
(1) 求 $ \dfrac{FP}{BP} $ 的值;
(2) 若四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ DP = 6 $, 求 $ GF $ 的长.

(1)2/3；(2)5

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC。∵AF=2FD，设FD=x，则AF=2x，AD=3x，∴BC=3x。∵AD//BC，∴△AFP∽△CBP，∴FP/BP=AF/BC=2x/3x=2/3。
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=BC=AB=3x，AB//CD。由AF=2FD，得AF/FD=2/1，∵AB//DG，∴△AFB∽△DFG，∴AB/DG=AF/FD=2/1，∴DG=AB/2=3x/2，CG=CD+DG=3x+3x/2=9x/2。∵AD//BC，∴△GFD∽△GBC，∴GF/GB=FD/BC=1/3，设GF=m，则GB=3m，∴BF=GB-GF=2m。由(1)知FP/BP=2/3，设FP=2k，BP=3k，则BF=BP+FP=5k=2m，∴m=5k/2。
设AP=2t，PC=3t，AC=5t。在菱形ABCD中，AD=CD，∠DAP=∠DCP，由余弦定理得：DP²=AD²+AP²-2·AD·AP·cosα，DP²=CD²+PC²-2·CD·PC·cosα，两式相减得6xt cosα=5t²，代入DP=6得9x²-6t²=36。
建立坐标系，设A(0,0)，C(5t,0)，D(5t/2,d)，B(5t/2,-d)。F(5t/3,2d/3)，BP方程：y=(-2d/t)x+4d，CD方程：y=(-2d/(5t))x+2d，联立得G(5t/4,3d/2)。计算FG=√[(5t/3-5t/4)²+(2d/3-3d/2)²]=(5/12)√(t²+4d²)，∵d²=36-t²/4，∴t²+4d²=144，FG=5。