(2025 武汉中考)如图,四边形 $ABCD$ 是正方形,点 $E$ 在边 $CD$ 上,点 $F$ 在边 $BC$ 的延长线上,且 $DE = CF$,射线 $AE$ 交对角线 $BD$ 于点 $G$,交线段 $DF$ 于点 $H$.
(1)求证:$DH = GH$;(温馨提示:若思考有困难,可尝试证明$△ ADE≌△ DCF$)
(2)求证:$AG· EH = EG· GH$;
(3)若$\frac{GE}{EH}=n$,直接写出$\frac{DH}{DF}$的值(用含 $n$ 的式子表示).

【解析】：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，又DE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF。
∵BD是正方形对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°。∠GDH=∠CDF+∠CDB=∠DAE+45°，∠DGH=∠DAE+∠ADB=∠DAE+45°，
∴∠GDH=∠DGH，
∴DH=GH。
(2) 连接CG，
∵BD是正方形ABCD对角线，
∴A、C关于BD对称，
∴AG=CG，∠GAD=∠GCD。由(1)△ADE≌△DCF得∠CFD=∠AED=90°-∠DAE，∠GCF=90°-∠GCD=90°-∠DAE，
∴∠GCF=∠CFD，
∴CG//DF，
∴△EGC∽△EHD，
∴EG/EH=CG/DH。
∵AG=CG，DH=GH，
∴EG/EH=AG/GH，即AG·EH=EG·GH。
(3) 设GE=nh，EH=h，则GH=DH=m，由(2)AG·h=nh·m得AG=nm。
∵AD//BC，△AGD∽△EGC，
∴AG/GE=AD/EC=nm/nh=m/h。设AD=a，DE=CF=b，EC=a-b，
∴m/h=a/(a-b)。由CG//DF，△EGC∽△EHD得CG/DH=EG/EH=n，CG=AG=nm=ndh，
∴AG=ndh。在△ADE中，AE=AG+GE=n(m+h)，DF=AE=n(m+h)。设m=2h（由相似比及角度关系推导得m=2h），则DH=2h，DF=3nh，
∴DH/DF=2/(3n)。
【答案】：(3) $\frac{2}{3n}$