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12. 如图，在${Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$DE \perp AB$，垂足为$E$.若$AC = 5$，$DE = 2$，则$AD$的长为
3
.答案
3
解析
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
∵AC=5，
∴AD=AC-DC=5-2=3.
13. 如图，$AB \perp CD$，且$AB = CD$，$CE \perp AD$于点$E$，$BF \perp AD$于点$F$.若$CE = 6$，$BF = 3$，$EF = 2$，则$AD$的长为
11
.答案
11
解析
设AD上点E、F的顺序为A---F---E---D，CE⊥AD，BF⊥AD，故∠CED=∠BFA=90°。
∵AB⊥CD，∴∠DCE+∠CDE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，且∠CDE=∠ABF（等角的余角相等）。
在△CDE和△ABF中：∠CED=∠BFA=90°，∠CDE=∠ABF，CD=AB，∴△CDE≌△ABF（AAS）。
∴AF=CE=6，DE=BF=3。
∵EF=2，AD=AF+FE+ED=6+2+3=11。
∵AB⊥CD，∴∠DCE+∠CDE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，且∠CDE=∠ABF（等角的余角相等）。
在△CDE和△ABF中：∠CED=∠BFA=90°，∠CDE=∠ABF，CD=AB，∴△CDE≌△ABF（AAS）。
∴AF=CE=6，DE=BF=3。
∵EF=2，AD=AF+FE+ED=6+2+3=11。
14. 如图所示，$P(2,2)$，点$A$在$x$轴的正半轴上运动，点$B$在$y$轴的负半轴上运动，且$PA = PB$.若点$A$的坐标为$(7,0)$，则点$B$的坐标为
(0,-3)
.答案
$(0,-3)$
解析
设点$B$的坐标为$(0,b)$，其中$b＜0$。已知$P(2,2)$，$A(7,0)$，且$PA=PB$。
根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(7-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$。
$PB=\sqrt{(0-2)^2+(b-2)^2}=\sqrt{4+(b-2)^2}$。
因为$PA=PB$，所以$\sqrt{4+(b-2)^2}=\sqrt{29}$，两边平方得$4+(b-2)^2=29$，即$(b-2)^2=25$。
解得$b-2=\pm5$，$b=7$或$b=-3$。又因为$b＜0$，所以$b=-3$，点$B$的坐标为$(0,-3)$。
根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(7-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$。
$PB=\sqrt{(0-2)^2+(b-2)^2}=\sqrt{4+(b-2)^2}$。
因为$PA=PB$，所以$\sqrt{4+(b-2)^2}=\sqrt{29}$，两边平方得$4+(b-2)^2=29$，即$(b-2)^2=25$。
解得$b-2=\pm5$，$b=7$或$b=-3$。又因为$b＜0$，所以$b=-3$，点$B$的坐标为$(0,-3)$。
15. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的边$BC$上的中线.若$AB = 5$，$AD = 3$，则$AC$的取值范围为
1 ＜ AC ＜ 11
.答案
1 ＜ AC ＜ 11
解析
延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE。
∵AD是△ABC中线，∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ADB=∠EDC\\ AD=ED\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴EC=AB=5。
在△AEC中，AE=AD+DE=6，EC=5，
由三角形三边关系得：AE-EC ＜ AC ＜ AE+EC，
即6-5 ＜ AC ＜ 6+5，∴1 ＜ AC ＜ 11。
∵AD是△ABC中线，∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ADB=∠EDC\\ AD=ED\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴EC=AB=5。
在△AEC中，AE=AD+DE=6，EC=5，
由三角形三边关系得：AE-EC ＜ AC ＜ AE+EC，
即6-5 ＜ AC ＜ 6+5，∴1 ＜ AC ＜ 11。
16. (6分)如图，$\triangle ADF \cong \triangle CBE$，点$E$，$B$，$D$，$F$在同一条直线上.
(1)线段$AD$与$BC$之间的数量关系是
(2)线段$AD$与$BC$之间的位置关系是
(1)线段$AD$与$BC$之间的数量关系是
$AD=BC$
，其理由是全等三角形的对应边相等
；(2)线段$AD$与$BC$之间的位置关系是
$AD// BC$
，请加以证明.答案
(1) $AD=BC$；全等三角形的对应边相等
(2) $AD// BC$
证明：$\because \triangle ADF \cong \triangle CBE$
$\therefore \angle ADF = \angle CBE$
$\because$ 点$E$，$B$，$D$，$F$在同一条直线上
$\therefore \angle ADB = 180° - \angle ADF$，$\angle CBD = 180° - \angle CBE$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
(2) $AD// BC$
证明：$\because \triangle ADF \cong \triangle CBE$
$\therefore \angle ADF = \angle CBE$
$\because$ 点$E$，$B$，$D$，$F$在同一条直线上
$\therefore \angle ADB = 180° - \angle ADF$，$\angle CBD = 180° - \angle CBE$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
17. (6分)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$AB$上的一点，过点$D$作$\angle ADE = \angle B$，点$E$在$AB$的上方，连接$AE$，$AE = AC$，$\angle ADE$与$\angle EAC$互补. 求证：$DE = BA$.
答案
证明：
∵∠ADE与∠EAC互补，
∴∠ADE + ∠EAC = 180°。
∵∠ADE = ∠B，
∴∠B + ∠EAC = 180°。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴∠B = 180° - ∠BAC - ∠ACB。
∴180° - ∠BAC - ∠ACB + ∠EAC = 180°，
∴∠EAC = ∠BAC + ∠ACB。
∵∠EAC = ∠EAB + ∠BAC，
∴∠EAB + ∠BAC = ∠BAC + ∠ACB，
∴∠EAB = ∠ACB，即∠DAE = ∠ACB。
在△ADE和△CBA中，
∠ADE = ∠B（已知），
∠DAE = ∠ACB（已证），
AE = CA（已知），
∴△ADE ≌ △CBA（AAS）。
∴DE = BA（全等三角形对应边相等）。
∵∠ADE与∠EAC互补，
∴∠ADE + ∠EAC = 180°。
∵∠ADE = ∠B，
∴∠B + ∠EAC = 180°。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴∠B = 180° - ∠BAC - ∠ACB。
∴180° - ∠BAC - ∠ACB + ∠EAC = 180°，
∴∠EAC = ∠BAC + ∠ACB。
∵∠EAC = ∠EAB + ∠BAC，
∴∠EAB + ∠BAC = ∠BAC + ∠ACB，
∴∠EAB = ∠ACB，即∠DAE = ∠ACB。
在△ADE和△CBA中，
∠ADE = ∠B（已知），
∠DAE = ∠ACB（已证），
AE = CA（已知），
∴△ADE ≌ △CBA（AAS）。
∴DE = BA（全等三角形对应边相等）。
