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19. (8分)如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$CE$是$\triangle ABC$的角平分线，$BF$是$\triangle ABC$的中线.
(1)若$\angle ACB = 50^{\circ}$，$\angle BAD = 65^{\circ}$，求$\angle AEC$的度数；
(2)若$AB = 9$，$\triangle BCF$与$\triangle BAF$的周长差为$3$，求$BC$的长.
(1)若$\angle ACB = 50^{\circ}$，$\angle BAD = 65^{\circ}$，求$\angle AEC$的度数；
(2)若$AB = 9$，$\triangle BCF$与$\triangle BAF$的周长差为$3$，求$BC$的长.
答案
(1)50°；(2)12．
解析
(1)∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=65°，∴∠ABC=90°-∠BAD=90°-65°=25°．
∵∠ACB=50°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠ACB/2=25°．
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-25°-50°=105°．
在△AEC中，∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-105°-25°=50°．
(2)∵BF是△ABC的中线，∴AF=CF．
△BCF的周长=BC+CF+BF，△BAF的周长=AB+AF+BF．
∵AF=CF，∴△BCF与△BAF的周长差=|BC-AB|=3．
∵AB=9，∴|BC-9|=3，解得BC=12或BC=6．
∵三角形两边之和大于第三边，经检验BC=12和BC=6均成立，但根据题意周长差为3，通常取正值，故BC=12．
∵∠BAD=65°，∴∠ABC=90°-∠BAD=90°-65°=25°．
∵∠ACB=50°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠ACB/2=25°．
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-25°-50°=105°．
在△AEC中，∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-105°-25°=50°．
(2)∵BF是△ABC的中线，∴AF=CF．
△BCF的周长=BC+CF+BF，△BAF的周长=AB+AF+BF．
∵AF=CF，∴△BCF与△BAF的周长差=|BC-AB|=3．
∵AB=9，∴|BC-9|=3，解得BC=12或BC=6．
∵三角形两边之和大于第三边，经检验BC=12和BC=6均成立，但根据题意周长差为3，通常取正值，故BC=12．
20. (8分)如图，$AD$和$BF$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线，$AE$是边$BC$上的中线.
(1)若$\triangle ABE$的面积为$6$，求$\triangle ABC$的面积；
(2)若$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，求$\angle DAC$和$\angle AFB$的度数.
(1)若$\triangle ABE$的面积为$6$，求$\triangle ABC$的面积；
(2)若$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，求$\angle DAC$和$\angle AFB$的度数.
答案
(1)
因为$AE$是边$BC$上的中线，所以$BE = EC$。
$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$（等底同高的两个三角形面积相等）。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEC}$，已知$S_{\triangle ABE} = 6$，所以$S_{\triangle ABC}=12$。
(2)
因为$AD$是高线，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=180^{\circ}-\angle ADC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAC-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$BF$是角平分线，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC = 25^{\circ}$。
在$\triangle ABF$中，$\angle AFB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABF=180^{\circ}- 60^{\circ}-25^{\circ}=95^{\circ}$。
综上，(1)中$\triangle ABC$的面积是$12$；(2)中$\angle DAC = 20^{\circ}$，$\angle AFB = 95^{\circ}$。
因为$AE$是边$BC$上的中线，所以$BE = EC$。
$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$（等底同高的两个三角形面积相等）。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEC}$，已知$S_{\triangle ABE} = 6$，所以$S_{\triangle ABC}=12$。
(2)
因为$AD$是高线，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=180^{\circ}-\angle ADC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAC-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$BF$是角平分线，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC = 25^{\circ}$。
在$\triangle ABF$中，$\angle AFB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABF=180^{\circ}- 60^{\circ}-25^{\circ}=95^{\circ}$。
综上，(1)中$\triangle ABC$的面积是$12$；(2)中$\angle DAC = 20^{\circ}$，$\angle AFB = 95^{\circ}$。
解析
(1)
∵AE是BC边上的中线，
∴BE=EC.
∵△ABE与△AEC等底同高，
∴S△AEC=S△ABE=6.
∴S△ABC=S△ABE+S△AEC=6+6=12.
(2)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°.
在△ADC中，∠C=70°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°.
∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°.
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠FBC=∠ABC/2=50°/2=25°.
在△AFC中，∠AFB=∠FBC+∠C=25°+70°=95°.
综上，∠DAC=20°，∠AFB=95°.
∵AE是BC边上的中线，
∴BE=EC.
∵△ABE与△AEC等底同高，
∴S△AEC=S△ABE=6.
∴S△ABC=S△ABE+S△AEC=6+6=12.
(2)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°.
在△ADC中，∠C=70°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°.
∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°.
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠FBC=∠ABC/2=50°/2=25°.
在△AFC中，∠AFB=∠FBC+∠C=25°+70°=95°.
综上，∠DAC=20°，∠AFB=95°.
