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三、解答题（共 75 分）
16. （6 分）已知 $ α $ 是锐角，且 $ \sin(α + 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $，计算 $ \sqrt{8} - 4\cos α - (π - 3.14)^0 + \tan α + (\frac{1}{3})^{-1} $ 的值。
16. （6 分）已知 $ α $ 是锐角，且 $ \sin(α + 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $，计算 $ \sqrt{8} - 4\cos α - (π - 3.14)^0 + \tan α + (\frac{1}{3})^{-1} $ 的值。
答案
16. 3
解析
因为$α$是锐角，且$\sin(α + 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$α + 15^{\circ} = 60^{\circ}$，解得$α = 45^{\circ}$。
$\begin{aligned}&\sqrt{8} - 4\cosα - (π - 3.14)^0 + \tanα + (\frac{1}{3})^{-1}\\=&2\sqrt{2} - 4\cos45^{\circ} - 1 + \tan45^{\circ} + 3\\=&2\sqrt{2} - 4×\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 1 + 3\\=&2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 1 + 1 + 3\\=&3\end{aligned}$
3
$\begin{aligned}&\sqrt{8} - 4\cosα - (π - 3.14)^0 + \tanα + (\frac{1}{3})^{-1}\\=&2\sqrt{2} - 4\cos45^{\circ} - 1 + \tan45^{\circ} + 3\\=&2\sqrt{2} - 4×\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 1 + 3\\=&2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 1 + 1 + 3\\=&3\end{aligned}$
3
17. (6 分)如图，将边长分别为 $ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 5 $，……的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④，那么按此规律：
(1)组成矩形 $ n $ 的正方形的个数为
(2)求矩形⑥的周长。
(1)组成矩形 $ n $ 的正方形的个数为
(n + 1)
个；(2)求矩形⑥的周长。
答案
17. (1) $(n + 1)$ (2) 矩形⑥的周长为 68
解析
(1) $n + 1$
(2) 矩形①的长为$1 + 1 = 2$，宽为$1$，周长为$2×(2 + 1)=6$；矩形②的长为$2 + 1 = 3$，宽为$2$，周长为$2×(3 + 2)=10$；矩形③的长为$3 + 2 = 5$，宽为$3$，周长为$2×(5 + 3)=16$；矩形④的长为$5 + 3 = 8$，宽为$5$，周长为$2×(8 + 5)=26$；矩形⑤的长为$8 + 5 = 13$，宽为$8$，周长为$2×(13 + 8)=42$；矩形⑥的长为$13 + 8 = 21$，宽为$13$，周长为$2×(21 + 13)=68$。
(2) 矩形①的长为$1 + 1 = 2$，宽为$1$，周长为$2×(2 + 1)=6$；矩形②的长为$2 + 1 = 3$，宽为$2$，周长为$2×(3 + 2)=10$；矩形③的长为$3 + 2 = 5$，宽为$3$，周长为$2×(5 + 3)=16$；矩形④的长为$5 + 3 = 8$，宽为$5$，周长为$2×(8 + 5)=26$；矩形⑤的长为$8 + 5 = 13$，宽为$8$，周长为$2×(13 + 8)=42$；矩形⑥的长为$13 + 8 = 21$，宽为$13$，周长为$2×(21 + 13)=68$。
18. (6 分)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 $ 1.8 $ m 的测量仪 $ EF $ 测得顶端 $ A $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $，小军在小明的前面 $ 5 $ m 处用高 $ 1.5 $ m 的测量仪 $ CD $ 测得顶端 $ A $ 的仰角为 $ 53^{\circ} $。(参考数据：$ \sin53^{\circ} \approx \frac{4}{5} $，$ \cos53^{\circ} \approx \frac{3}{5} $，$ \tan53^{\circ} \approx \frac{4}{3} $)
(1)$ ∠ AEM = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $，$ ∠ ACN = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $，$ MN = $
(2)电子厂 $ AB $ 的高度为多少米？
(1)$ ∠ AEM = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $，$ ∠ ACN = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $，$ MN = $
0.3
m；(2)电子厂 $ AB $ 的高度为多少米？
答案
18. (1) 45,53,0.3 (2) 电子厂 AB 的高度为 22.7 m
解析
(1) 45,53,0.3
(2) 解：设 $ CN = x $ m，$ AM = h $ m。
在 $ Rt△ ACN $ 中，$\tan53^{\circ}=\frac{AM}{CN}$，即$\frac{4}{3}=\frac{h}{x}$，$h=\frac{4}{3}x$。
在 $ Rt△ AEM $ 中，$\tan45^{\circ}=\frac{AM}{EM}$，$EM = x + 5$，$1=\frac{h}{x + 5}$，$h = x + 5$。
则$\frac{4}{3}x=x + 5$，解得$x = 15$。
$h=15 + 5=20$，$AB=h + MN + NB=20 + 0.3 + 1.5=21.8$ m。
答：电子厂 $ AB $ 的高度为 $ 21.8 $ m。
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(2) 解：设 $ CN = x $ m，$ AM = h $ m。
在 $ Rt△ ACN $ 中，$\tan53^{\circ}=\frac{AM}{CN}$，即$\frac{4}{3}=\frac{h}{x}$，$h=\frac{4}{3}x$。
在 $ Rt△ AEM $ 中，$\tan45^{\circ}=\frac{AM}{EM}$，$EM = x + 5$，$1=\frac{h}{x + 5}$，$h = x + 5$。
则$\frac{4}{3}x=x + 5$，解得$x = 15$。
$h=15 + 5=20$，$AB=h + MN + NB=20 + 0.3 + 1.5=21.8$ m。
答：电子厂 $ AB $ 的高度为 $ 21.8 $ m。
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