8. 已知$(x + y)^2 = 25$，$(x - y)^2 = 9$，则xy=.

4

由平方公式展开：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 25$，
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 9$。
两式相减：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 25 - 9$，
$4xy = 16$，
$xy = 4$。

9. 如图，长为$50\ \mathrm{cm}$，宽为$x\ \mathrm{cm}$的大长方形被分割成$7$小块.除阴影$A$，$B$外，其余$5$块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为$y\ \mathrm{cm}$.则阴影$A$与阴影$B$的面积差为$.$（用关于$x$，$y$的代数式表示）

$xy - 50y$

设小长方形较长边为 $ m $。由图可知，大长方形的长 $ 50 = m + 3y $，宽 $ x = m + y $，则 $ m = 50 - 3y $ 且 $ m = x - y $，故 $ x - y = 50 - 3y $，即 $ x = 50 - 2y $（此关系用于验证，不直接参与面积差计算）。
阴影 $ A $ 的面积：长为 $ x - 3y $，宽为 $ y $，面积 $ A = y(x - 3y) $。
阴影 $ B $ 的面积：长为 $ 50 - 3y $，宽为 $ y $，面积 $ B = y(50 - 3y) $。
面积差 $ A - B = y(x - 3y) - y(50 - 3y) = xy - 3y^2 - 50y + 3y^2 = xy - 50y $。

10. 已知$x = \frac{1}{3}$，求$(2x + 1)(2x - 1)+x(3 - 4x)$的值.

首先，利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开原式：
$(2x + 1)(2x - 1) = 4x^{2} - 2x + 2x - 1 = 4x^{2} - 1$
$x(3 - 4x) = 3x - 4x^{2}$
将上述两部分相加，得到：
$4x^{2} - 1 + 3x - 4x^{2} = 3x - 1$
最后，将$x = \frac{1}{3}$代入上述简化后的式子中：
$3x - 1 = 3 × \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$
故答案为：0。

11. 如图$1$，将长为$2a + 3$，宽为$2a$的矩形分割成四个形状、大小完全相同的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图$2$），得到大、小两个正方形.
（1）用关于$a$的代数式表示图$2$中小正方形的边长.
（2）当$a = 3$时，该小正方形的面积是多少？

（1）由题意，矩形长为$2a + 3$，宽为$2a$，分割成四个全等直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为$a$和$2a + 3$（宽的一半为$a$，长为另一直角边）。赵爽弦图中小正方形边长为两直角边之差，即$(2a + 3)-a = a + 3$。
（2）当$a = 3$时，小正方形边长为$3 + 3 = 6$，面积为$6^2 = 36$。
（1）$a + 3$；（2）$36$