3. 如图，已知：在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为边 BC 延长线上一点，E 是边 AB 上一点，EM 垂直平分线段 BD，M 为垂足，DE 交边 AC 于点 F. 求证：点 E 在线段 AF 的垂直平分线上.

3.
∵ EM垂直平分线段BD，
∴ BE=ED（线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等）.
∴ ∠B=∠D（等边对等角）.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠FCD=180°−∠ACB=90°.
又
∵ ∠B+∠A+∠ACB=180°，∠D+∠CFD+∠FCD=180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠B+∠A=90°，∠D+∠CFD=90°.
∴ ∠A=∠CFD.
又
∵ ∠EFA=∠CFD（对顶角相等），
∴ ∠EFA=∠A.
∴ EF=EA（等角对等边）.
∴ 点E在线段AF的垂直平分线上（与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

4. 如图，已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC 且交边 AB 于点 E，EF⊥AD 且交 BC 的延长线于点 F. 求证：∠B = ∠FAC.

4.
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠DAC.
∵ DE//AC，
∴ ∠EDA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠EAD=∠EDA.
∴ AE=DE（等角对等边）.
又
∵ EF⊥AD，
∴ EF垂直平分AD（等腰三角形三线合一）.
∴ AF=DF（线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等）.
∴ ∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∵ ∠ADF=∠B+∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠FAD=∠CAD+∠FAC，
∴ ∠B+∠BAD=∠CAD+∠FAC.
∴ ∠B=∠FAC.