6. 若分式 $\frac{x^{2}+1}{x - 1}□\frac{2x}{x - 1}$ 的运算结果为 $x - 1$，则在“$□$”中添加的运算符号为()

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

B

7. 如果 $m + n = 1$，那么代数式 $(\frac{2m + n}{m^{2}-mn}+\frac{1}{m})·(m^{2}-n^{2})$ 的值为()

A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3

D

8. 试卷上一个正确的式子 $(\frac{1}{a + b}+\frac{1}{a - b})÷★=\frac{2}{a + b}$ 被小颖同学不小心滴上了墨汁，被墨汁遮住部分的代数式 $★$ 为.

$\frac{a}{a-b}$

9. 若 $3ab - 3b^{2}-2 = 0$，则代数式 $(1-\frac{2ab - b^{2}}{a^{2}})÷\frac{a - b}{a^{2}b}$ 的值为.

$\frac{2}{3}$

10. (2024·眉山) 已知 $a_{1}=x + 1(x≠0$ 且 $x≠ - 1)$，$a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}$，$a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}$，$···$，$a_{n}=\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$，则 $a_{2024}$ 的值为.

$-\frac{1}{x}$

11. 已知 $x^{2}+y^{2}=3$，$xy=\frac{1}{2}$，则 $(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})÷\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}$ 的值为.

$\pm\frac{1}{2}$

12. 先化简，再求值：$(\frac{3x}{x - y}+\frac{x}{x + y})÷\frac{x}{x^{2}-y^{2}}$，其中 $x$，$y$ 满足 $2x + y - 5 = 0$.

解：原式$=\frac{3x^2+3xy+x^2-xy}{(x-y)(x+y)}·\frac{(x-y)(x+y)}{x}=\frac{2x(2x+y)}{(x-y)(x+y)}·\frac{(x-y)(x+y)}{x}=2(2x+y)$，
$ \because2x+y-5=0$，$\therefore2x+y=5$，
$ \therefore$原式=2×5=10

13. 先化简：$(\frac{a + 1}{a - 2}-1)÷\frac{a^{2}-2a}{a^{2}-4a + 4}$，然后从 $0$，$2$，$2025$ 中选择一个合适的数代入求值.

解：原式$=(\frac{a+1}{a-2}-\frac{a-2}{a-2})÷\frac{a(a-2)}{(a-2)^2}=\frac{a+1-(a-2)}{a-2}·\frac{(a-2)^2}{a(a-2)}=\frac{a+1-a+2}{a-2}·\frac{(a-2)^2}{a(a-2)}=\frac{3}{a-2}·\frac{(a-2)^2}{a(a-2)}=\frac{3}{a}$，
当a=0，a=2时，原式没有意义，
$ \therefore$当a=2025时，原式$=\frac{3}{2025}=\frac{1}{675}$

14. 如图，小宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象.


(1) 任写两组符合条件 $a + b = ab$ 的正数 $a$，$b$ 的值；
(2) 选 (1) 中两组 $a$，$b$ 值中的一组值，验证小宝的结论：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 比 $ab$ 小 $2$；
(3) 在一般情形下，验证小宝的结论.

解：
(1)由a+b=ab，得到a=b(a-1)，即$b=\frac{a}{a-1}$，
当a=2时，b=2；当a=3时，$b=\frac{3}{2}$。(答案不唯一)
(2)若a=2，b=2，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2$，ab=4，
则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比ab小2。
(3)将$b=\frac{a}{a-1}$代入$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$，得$\frac{\frac{a}{a-1}}{a}+\frac{a}{\frac{a}{a-1}}=\frac{1}{a-1}+a-1$，
将$b=\frac{a}{a-1}$代入ab，得$a·\frac{a}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}$，
$ \because ab-(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})=\frac{a^2}{a-1}-\frac{1}{a-1}-a+1=\frac{a^2-1}{a-1}-a+1=a+1-a+1=2$，
$ \therefore\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$比ab小2。