登录
7. (1) 计算：$(a+2)(a^2 - 2a + 4) = \_\_\_\_\_\_$；$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = \_\_\_\_\_\_$。
(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a，b的字母表示：______。
(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（$\quad$）
A. $(a+3)(a^2 - 3a + 9)$
B. $(2m + n)(2m^2 + 2mn + n^2)$
C. $(4 - x)(16 + 4x - x^2)$
D. $(m - n)(m^2 + 2mn + n^2)$
(4) 利用所学知识以及 (2) 所得等式，化简代数式 $\dfrac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} ÷ \dfrac{m^2 - n^2}{m^2 - 2mn + n^2}$。
(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a，b的字母表示：______。
(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（$\quad$）
A. $(a+3)(a^2 - 3a + 9)$
B. $(2m + n)(2m^2 + 2mn + n^2)$
C. $(4 - x)(16 + 4x - x^2)$
D. $(m - n)(m^2 + 2mn + n^2)$
(4) 利用所学知识以及 (2) 所得等式，化简代数式 $\dfrac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} ÷ \dfrac{m^2 - n^2}{m^2 - 2mn + n^2}$。
答案
7. 解：(1) $a^3+8$；$8x^3+y^3$.
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.
(3) A.
(4) $\dfrac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2}÷\dfrac{m^2-n^2}{m^2-2mn+n^2}=\dfrac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2}·\dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$，由(2)可得$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，
∴原式=$m-n$.
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.
(3) A.
(4) $\dfrac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2}÷\dfrac{m^2-n^2}{m^2-2mn+n^2}=\dfrac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2}·\dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$，由(2)可得$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，
∴原式=$m-n$.
解析
【分析】
第(1)问按照多项式乘多项式的法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；第(2)问观察第(1)问两个式子的结构特征和运算结果，归纳出通用的乘法公式即可；第(3)问对照总结出的立方和公式的结构，逐一判断选项是否符合要求；第(4)问先将分式除法转化为乘法，再利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2 - 2a + 4)$：
按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}原式&=a· a^2 + a·(-2a) + a·4 + 2· a^2 + 2·(-2a) + 2×4\\&=a^3 -2a^2 +4a +2a^2 -4a +8\\&=a^3 +8\end{aligned}$
计算$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$：
按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 +2x·(-2xy) +2x· y^2 + y·4x^2 + y·(-2xy) + y· y^2\\&=8x^3 -4x^2y +2xy^2 +4x^2y -2xy^2 + y^3\\&=8x^3 + y^3\end{aligned}$
(2) 观察上述两个运算的结构：
第一个式子：$(a+2)(a^2 -a·2 +2^2)=a^3 +2^3$，
第二个式子：$(2x + y)[(2x)^2 - (2x)· y + y^2]=(2x)^3 + y^3$，
归纳可得通用公式：$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$。
(3) 对照立方和公式$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$的结构逐一判断：
A选项：$(a+3)(a^2 -3a +9)=(a+3)(a^2 -a·3 +3^2)$，完全符合公式结构，可以用公式计算；
B选项：$(2m + n)$对应的第二个因式应为$(2m)^2 -2m· n +n^2=4m^2 -2mn +n^2$，与选项给出的$2m^2 + 2mn + n^2$不符，不能用公式计算；
C选项：$(4 - x)$是两数差的形式，且第二个因式中$-x^2$不符合公式中$+b^2$的特征，不能用公式计算；
D选项：$(m - n)$是两数差的形式，第二个因式$m^2 + 2mn + n^2$不符合公式结构，不能用公式计算；
故选A。
(4) 先将分式除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} · \dfrac{m^2 - 2mn + n^2}{m^2 - n^2}\\\end{aligned}$
由(2)的立方和公式得$m^3 +n^3=(m+n)(m^2 -mn +n^2)$，结合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$，完全平方公式$m^2 -2mn +n^2=(m-n)^2$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(m+n)(m^2 - mn +n^2)}{m^2 - mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}\\&=m-n\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) A
(4) $m-n$
【知识点】
多项式乘多项式；立方和公式；分式乘除运算
【点评】
本题从具体的多项式乘法运算出发，引导学生自主归纳推导立方和公式，再将公式应用到因式分解和分式化简的过程中，既考查了基本运算能力，也考查了从特殊到一般的归纳推理能力和公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问按照多项式乘多项式的法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；第(2)问观察第(1)问两个式子的结构特征和运算结果，归纳出通用的乘法公式即可；第(3)问对照总结出的立方和公式的结构，逐一判断选项是否符合要求；第(4)问先将分式除法转化为乘法，再利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2 - 2a + 4)$：
按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}原式&=a· a^2 + a·(-2a) + a·4 + 2· a^2 + 2·(-2a) + 2×4\\&=a^3 -2a^2 +4a +2a^2 -4a +8\\&=a^3 +8\end{aligned}$
计算$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$：
按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 +2x·(-2xy) +2x· y^2 + y·4x^2 + y·(-2xy) + y· y^2\\&=8x^3 -4x^2y +2xy^2 +4x^2y -2xy^2 + y^3\\&=8x^3 + y^3\end{aligned}$
(2) 观察上述两个运算的结构：
第一个式子：$(a+2)(a^2 -a·2 +2^2)=a^3 +2^3$，
第二个式子：$(2x + y)[(2x)^2 - (2x)· y + y^2]=(2x)^3 + y^3$，
归纳可得通用公式：$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$。
(3) 对照立方和公式$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$的结构逐一判断：
A选项：$(a+3)(a^2 -3a +9)=(a+3)(a^2 -a·3 +3^2)$，完全符合公式结构，可以用公式计算；
B选项：$(2m + n)$对应的第二个因式应为$(2m)^2 -2m· n +n^2=4m^2 -2mn +n^2$，与选项给出的$2m^2 + 2mn + n^2$不符，不能用公式计算；
C选项：$(4 - x)$是两数差的形式，且第二个因式中$-x^2$不符合公式中$+b^2$的特征，不能用公式计算；
D选项：$(m - n)$是两数差的形式，第二个因式$m^2 + 2mn + n^2$不符合公式结构，不能用公式计算；
故选A。
(4) 先将分式除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} · \dfrac{m^2 - 2mn + n^2}{m^2 - n^2}\\\end{aligned}$
由(2)的立方和公式得$m^3 +n^3=(m+n)(m^2 -mn +n^2)$，结合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$，完全平方公式$m^2 -2mn +n^2=(m-n)^2$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(m+n)(m^2 - mn +n^2)}{m^2 - mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}\\&=m-n\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) A
(4) $m-n$
【知识点】
多项式乘多项式；立方和公式；分式乘除运算
【点评】
本题从具体的多项式乘法运算出发，引导学生自主归纳推导立方和公式，再将公式应用到因式分解和分式化简的过程中，既考查了基本运算能力，也考查了从特殊到一般的归纳推理能力和公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
8. (2025·威海) 下列运算正确的是 (
A.$b^3 + b^2 = b^5$
B.$(-2b^2)^3 = -6a^6$
C.$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b$
D.$(-b)^3 ÷ (-b^2) = b$
D
)A.$b^3 + b^2 = b^5$
B.$(-2b^2)^3 = -6a^6$
C.$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b$
D.$(-b)^3 ÷ (-b^2) = b$
答案
8. D
解析
【分析】
本题需要逐一验证每个选项的运算是否符合相应的数学运算法则，解题时先回忆同类项合并、幂的运算、分式乘除运算的相关规则，再对每个选项依次计算判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$b^3$和$b^2$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
选项B：根据积的乘方法则，$(-2b^2)^3=(-2)^3 · (b^2)^3=-8b^6$，运算结果不仅系数错误，还出现了原题没有的字母$a$，因此B运算错误；
选项C：分式乘除是同级运算，需从左到右依次计算：
$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b × \frac{b}{a} × \frac{b}{a} = \frac{b^3}{a^2} ≠ b$，因此C运算错误；
选项D：先计算幂的运算，再做同底数幂的除法：
$(-b)^3 ÷ (-b^2) = (-b^3) ÷ (-b^2) = b^{3-2}=b$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算性质，分式乘除运算，同类项合并
【点评】
本题是基础运算类选择题，综合考查了整式运算和分式运算的核心法则，解题时要注意运算顺序、符号判断，避免出现混淆运算法则、随意合并非同类项等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题需要逐一验证每个选项的运算是否符合相应的数学运算法则，解题时先回忆同类项合并、幂的运算、分式乘除运算的相关规则，再对每个选项依次计算判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$b^3$和$b^2$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
选项B：根据积的乘方法则，$(-2b^2)^3=(-2)^3 · (b^2)^3=-8b^6$，运算结果不仅系数错误，还出现了原题没有的字母$a$，因此B运算错误；
选项C：分式乘除是同级运算，需从左到右依次计算：
$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b × \frac{b}{a} × \frac{b}{a} = \frac{b^3}{a^2} ≠ b$，因此C运算错误；
选项D：先计算幂的运算，再做同底数幂的除法：
$(-b)^3 ÷ (-b^2) = (-b^3) ÷ (-b^2) = b^{3-2}=b$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算性质，分式乘除运算，同类项合并
【点评】
本题是基础运算类选择题，综合考查了整式运算和分式运算的核心法则，解题时要注意运算顺序、符号判断，避免出现混淆运算法则、随意合并非同类项等常见错误。
【难度系数】
0.8
