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3. 如图，在$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中，$AB=AD$，$∠ BAD=∠ CAE$，$AC=AE$。求证：$BC=DE$。
答案
证明 因为$∠ BAD=∠ CAE$，
所以$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，$\begin{cases}AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE$（SAS）。
所以 $BC=DE$。
所以$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，$\begin{cases}AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE$（SAS）。
所以 $BC=DE$。
解析
【分析】
要证明$BC=DE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即目标证$△ ABC≌△ ADE$。首先梳理已知条件：已有$AB=AD$、$AC=AE$，还缺两个三角形的夹角相等的条件；已知$∠ BAD=∠ CAE$，在这两个等角的基础上同时加上公共角$∠ DAC$，即可得到$∠ BAC=∠ DAE$，刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，证明全等后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：因为$∠ BAD=∠ CAE$，
所以$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\begin{cases}AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE$（SAS）。
所以$BC=DE$。
【答案】
$BC=DE$，证明过程见解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形对应边相等，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是利用已知等角推导得到全等所需的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明$BC=DE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即目标证$△ ABC≌△ ADE$。首先梳理已知条件：已有$AB=AD$、$AC=AE$，还缺两个三角形的夹角相等的条件；已知$∠ BAD=∠ CAE$，在这两个等角的基础上同时加上公共角$∠ DAC$，即可得到$∠ BAC=∠ DAE$，刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，证明全等后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：因为$∠ BAD=∠ CAE$，
所以$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\begin{cases}AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAE, \\ AC=AE,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE$（SAS）。
所以$BC=DE$。
【答案】
$BC=DE$，证明过程见解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形对应边相等，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是利用已知等角推导得到全等所需的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
小明与爸爸妈妈在公园荡秋千. 小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸在C处接住他. 如图，若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8 m和2.2 m，$∠ BOC=90°$.
（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等吗？请说明理由.
（2）求出爸爸在距离地面多高的地方接住小明.
解（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等.
理由如下：
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$.
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF=90°$.
所以$∠ COG=∠ OBF$.
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG=∠ OBF, \\∠ CGO=∠ OFB, \\OC=OB,\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）.
（2）因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$.
因为$BF$，$CG$分别为1.8 m和2.2 m，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4$（m）.
所以$1.2 + 0.4 = 1.6$（m）.
答：爸爸是在距离地面1.6 m的地方接住小明的.
（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等吗？请说明理由.
（2）求出爸爸在距离地面多高的地方接住小明.
解（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等.
理由如下：
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$.
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF=90°$.
所以$∠ COG=∠ OBF$.
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG=∠ OBF, \\∠ CGO=∠ OFB, \\OC=OB,\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）.
（2）因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$.
因为$BF$，$CG$分别为1.8 m和2.2 m，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4$（m）.
所以$1.2 + 0.4 = 1.6$（m）.
答：爸爸是在距离地面1.6 m的地方接住小明的.
答案
解：(1) $△ CGO$与$△ OFB$全等，理由如下：
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$。
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF = 90°$，
所以$∠ COG = ∠ OBF$。
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG = ∠ OBF \\∠ CGO = ∠ OFB \\OC = OB\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）。
(2) 因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$。
已知$BF=1.8\ \mathrm{m}$，$CG=2.2\ \mathrm{m}$，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4\ (\mathrm{m})$，
因此C点距离地面的高度为$1.2 + 0.4 = 1.6\ (\mathrm{m})$。
答：爸爸在距离地面$1.6\ \mathrm{m}$高的地方接住小明。
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$。
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF = 90°$，
所以$∠ COG = ∠ OBF$。
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG = ∠ OBF \\∠ CGO = ∠ OFB \\OC = OB\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）。
(2) 因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$。
已知$BF=1.8\ \mathrm{m}$，$CG=2.2\ \mathrm{m}$，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4\ (\mathrm{m})$，
因此C点距离地面的高度为$1.2 + 0.4 = 1.6\ (\mathrm{m})$。
答：爸爸在距离地面$1.6\ \mathrm{m}$高的地方接住小明。
解析
【分析】
（1）判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：两个三角形都是直角三角形，秋千绳长相等即$OB=OC$，再结合$∠ BOC=90°$，可通过“同角的余角相等”推出一组对应角相等，满足AAS全等判定条件即可证明全等。
（2）求C点距离地面的高度，可利用全等三角形对应边相等的性质，先求出B、C两点的高度差，再叠加B点距离地面的1.2m，即可得到C点的高度。
【解析】
(1) $△ CGO$与$△ OFB$全等，理由如下：
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$。
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF = 90°$，
所以$∠ COG = ∠ OBF$。
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG = ∠ OBF \\∠ CGO = ∠ OFB \\OC = OB\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）。
(2) 因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$。
已知$BF=1.8\ \mathrm{m}$，$CG=2.2\ \mathrm{m}$，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4\ (\mathrm{m})$，
因此C点距离地面的高度为$1.2 + 0.4 = 1.6\ (\mathrm{m})$。
【答案】
（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等，理由见解析；
（2）爸爸在距离地面$\boldsymbol{1.6\ \mathrm{m}}$高的地方接住小明。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景考查全等三角形的实际应用，解题核心是从实际场景中抽象出几何模型，通过角度关系证明全等，再借助全等性质求解高度，能有效锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：两个三角形都是直角三角形，秋千绳长相等即$OB=OC$，再结合$∠ BOC=90°$，可通过“同角的余角相等”推出一组对应角相等，满足AAS全等判定条件即可证明全等。
（2）求C点距离地面的高度，可利用全等三角形对应边相等的性质，先求出B、C两点的高度差，再叠加B点距离地面的1.2m，即可得到C点的高度。
【解析】
(1) $△ CGO$与$△ OFB$全等，理由如下：
由题意可知$∠ BFO = ∠ OGC = 90°$，$OB=OC$。
因为$∠ BOC=90°$，
所以$∠ COG + ∠ BOF = ∠ BOF + ∠ OBF = 90°$，
所以$∠ COG = ∠ OBF$。
在$△ CGO$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ COG = ∠ OBF \\∠ CGO = ∠ OFB \\OC = OB\end{cases}$
所以$△ CGO ≌ △ OFB$（AAS）。
(2) 因为$△ CGO ≌ △ OFB$，
所以$CG=OF$，$OG=BF$。
已知$BF=1.8\ \mathrm{m}$，$CG=2.2\ \mathrm{m}$，
所以$FG = OF - OG = CG - BF = 2.2 - 1.8 = 0.4\ (\mathrm{m})$，
因此C点距离地面的高度为$1.2 + 0.4 = 1.6\ (\mathrm{m})$。
【答案】
（1）$△ CGO$与$△ OFB$全等，理由见解析；
（2）爸爸在距离地面$\boldsymbol{1.6\ \mathrm{m}}$高的地方接住小明。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景考查全等三角形的实际应用，解题核心是从实际场景中抽象出几何模型，通过角度关系证明全等，再借助全等性质求解高度，能有效锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
