登录
15. 如图所示，已知点$P(x,y)$在第一象限，且$x+y=8$，点A的坐标是$(6,0)$。设$△ OPA$的面积是$S$，求$S$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
答案
15. 作$PB⊥OA$于点B，$PB=y=8-x$，则$S=\dfrac{1}{2}OA·PB=\dfrac{1}{2}×6×(8-x)=-3x+24(0＜x＜8)$
解析
【分析】
要推导S与x的函数表达式，首先回忆三角形面积公式，△OPA的底OA在x轴上，可由点A坐标直接得出长度为6，对应的高是点P到x轴的距离，即点P的纵坐标y。已知x+y=8，可将y用含x的代数式表示，代入面积公式即可得到函数关系。再结合点P在第一象限的特征，横纵坐标均大于0，列不等式就能求出自变量x的取值范围。
【解析】
过点P作PB⊥x轴于点B，则PB为点P的纵坐标，即PB=y。
1. 求底OA的长度：
∵点A的坐标为(6,0)，
∴OA=6。
2. 用x表示高PB：
已知x+y=8，变形得y=8-x，即PB=8-x。
3. 代入面积公式求S：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入OA=6，PB=8-x，得：
$S=\frac{1}{2}×6×(8-x)=-3x+24$
4. 求自变量x的取值范围：
∵点P(x,y)在第一象限，
∴横坐标x＞0，纵坐标y＞0，
即$\begin{cases}x＞0 \\ 8-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
【答案】
$S=-3x+24(0＜x＜8)$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 三角形面积计算
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与平面直角坐标系结合的基础常考题，解题关键是建立三角形的高与点的纵坐标的关联，同时要注意结合点的位置限制，准确写出自变量的取值范围，避免因漏写范围失分。
【难度系数】
0.7
要推导S与x的函数表达式，首先回忆三角形面积公式，△OPA的底OA在x轴上，可由点A坐标直接得出长度为6，对应的高是点P到x轴的距离，即点P的纵坐标y。已知x+y=8，可将y用含x的代数式表示，代入面积公式即可得到函数关系。再结合点P在第一象限的特征，横纵坐标均大于0，列不等式就能求出自变量x的取值范围。
【解析】
过点P作PB⊥x轴于点B，则PB为点P的纵坐标，即PB=y。
1. 求底OA的长度：
∵点A的坐标为(6,0)，
∴OA=6。
2. 用x表示高PB：
已知x+y=8，变形得y=8-x，即PB=8-x。
3. 代入面积公式求S：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入OA=6，PB=8-x，得：
$S=\frac{1}{2}×6×(8-x)=-3x+24$
4. 求自变量x的取值范围：
∵点P(x,y)在第一象限，
∴横坐标x＞0，纵坐标y＞0，
即$\begin{cases}x＞0 \\ 8-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
【答案】
$S=-3x+24(0＜x＜8)$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 三角形面积计算
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与平面直角坐标系结合的基础常考题，解题关键是建立三角形的高与点的纵坐标的关联，同时要注意结合点的位置限制，准确写出自变量的取值范围，避免因漏写范围失分。
【难度系数】
0.7
16.某地农村医疗保险制度中规定，农民住院医疗费用报销比例标准如下表：
设某位享受该医保的农民一次住院医疗费用为$ x $元$(x＞100)$，报销的医疗费用为$ y $元。
(1)写出$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元，则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元？
设某位享受该医保的农民一次住院医疗费用为$ x $元$(x＞100)$，报销的医疗费用为$ y $元。
(1)写出$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元，则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元？
答案
16. (1)$y=0.6x-60$
(2)当$x=1000$时，报销的医疗费用$y=540$元，自付医疗费用为$1000-y=460$(元)
(2)当$x=1000$时，报销的医疗费用$y=540$元，自付医疗费用为$1000-y=460$(元)
解析
【分析】
(1) 首先明确报销规则：当住院费用$x＞100$元时，100元及以下的部分不予报销，仅超过100元的部分按60%报销，因此报销费用$y$等于超出100元的部分乘以60%，整理即可得到函数表达式。
(2) 求费用为1000元时的报销和自付费用，只需将$x=1000$代入第一问得到的函数表达式，算出$y$即为报销费用，再用总费用减去报销费用就得到自付费用。
【解析】
(1) 由题意可知，$x＞100$时，可报销的费用基数为$(x-100)$元，报销比例为60%，因此：
$y=(x-100)×60\%$
化简得：$y=0.6x-60\quad(x＞100)$
(2) 当住院医疗费用$x=1000$元时，代入上述函数表达式：
$y=0.6×1000 -60=600-60=540$（元）
自付医疗费用为总费用减去报销费用：$1000-540=460$（元）
【答案】
(1)$y=0.6x-60\quad(x＞100)$
(2)报销的医疗费用为540元，自付的医疗费用为460元。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数解析式，代入求值
【点评】
本题属于实际生活中的分段计费问题，解题核心是读懂表格中的报销规则，准确找到报销费用的计算基数，再结合函数相关知识求解即可，计算难度较低，是常见的函数应用题型。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确报销规则：当住院费用$x＞100$元时，100元及以下的部分不予报销，仅超过100元的部分按60%报销，因此报销费用$y$等于超出100元的部分乘以60%，整理即可得到函数表达式。
(2) 求费用为1000元时的报销和自付费用，只需将$x=1000$代入第一问得到的函数表达式，算出$y$即为报销费用，再用总费用减去报销费用就得到自付费用。
【解析】
(1) 由题意可知，$x＞100$时，可报销的费用基数为$(x-100)$元，报销比例为60%，因此：
$y=(x-100)×60\%$
化简得：$y=0.6x-60\quad(x＞100)$
(2) 当住院医疗费用$x=1000$元时，代入上述函数表达式：
$y=0.6×1000 -60=600-60=540$（元）
自付医疗费用为总费用减去报销费用：$1000-540=460$（元）
【答案】
(1)$y=0.6x-60\quad(x＞100)$
(2)报销的医疗费用为540元，自付的医疗费用为460元。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数解析式，代入求值
【点评】
本题属于实际生活中的分段计费问题，解题核心是读懂表格中的报销规则，准确找到报销费用的计算基数，再结合函数相关知识求解即可，计算难度较低，是常见的函数应用题型。
【难度系数】
0.8
17. 甲、乙两个仓库要向A，B两地运送水泥，已知甲仓库可调出100吨水泥，乙仓库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，表中运费栏“元/(吨·千米)”表示每吨水泥运送1千米所需的费用。设甲仓库运往A地水泥x(吨)，总费用y(元)。
(1)用含x的代数式填表：
(2)求y关于x的函数表达式并写出自变量x的取值范围。
(1)用含x的代数式填表：
(2)求y关于x的函数表达式并写出自变量x的取值范围。
答案
17. (1)
| 甲仓库运往两地的水泥数量 | 乙仓库运往两地的水泥数量 |
| ---- | ---- |
| $x$ | $70-x$ |
| $100-x$ | $x+10$ |
(2)$y=12×20x+12×15(70-x)+10×25(100-x)+8×20(x+10)=-30x+39200(0≤x≤70)$
| 甲仓库运往两地的水泥数量 | 乙仓库运往两地的水泥数量 |
| ---- | ---- |
| $x$ | $70-x$ |
| $100-x$ | $x+10$ |
(2)$y=12×20x+12×15(70-x)+10×25(100-x)+8×20(x+10)=-30x+39200(0≤x≤70)$
解析
【分析】
(1) 第一问的核心是理清各仓库可调出总量和A、B两地需求总量的对应关系：已知甲运往A地x吨，先根据A地总需求70吨推出乙运往A地的量；再根据甲仓库总可调出100吨，推出甲运往B地的量；最后根据B地总需求110吨，减去甲运往B地的量即可得到乙运往B地的量，可通过乙仓库总调出量验证结果是否正确。
(2) 第二问求总运费函数式时，要明确运费计算规则：单条路线运费=每吨每千米运费×运输路程×运输吨数，将四条路线的运费相加后合并同类项即可得到函数表达式；自变量x的取值范围需结合实际意义，所有运输量不能为负数，据此列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 填表推导：
① 甲仓库运往A地水泥x吨，A地共需70吨，因此乙仓库运往A地的水泥量为$70-x$吨；
② 甲仓库总共可调出100吨水泥，因此甲仓库运往B地的水泥量为$100-x$吨；
③ B地共需110吨水泥，因此乙仓库运往B地的水泥量为$110-(100-x)=x+10$吨，验证乙仓库总调出量：$(70-x)+(x+10)=80$吨，符合乙仓库可调出80吨的条件。
(2) 计算总运费y的函数表达式：
总运费为四条运输路线的运费之和，列式计算：
$\begin{aligned}y&=12×20x+12×15(70-x)+10×25(100-x)+8×20(x+10)\\&=240x + 12600 - 180x + 25000 - 250x + 160x + 1600\\&=-30x + 39200\end{aligned}$
求自变量x的取值范围：
运输量不能为负数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\70-x≥0 \\100-x≥0 \\x+10≥0\end{cases}$
解得公共解集为$0≤ x≤70$。
【答案】
(1) 甲仓库运往两地的水泥数量依次为$x$、$100-x$；乙仓库运往两地的水泥数量依次为$70-x$、$x+10$
(2) $y=-30x+39200(0≤ x≤70)$
【知识点】
列代数式；一次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于典型的调运类一次函数应用题，解题关键是梳理清楚各运输方的调出量和收货点的需求量之间的数量关系，计算总费用时要准确对应每条路线的单价、路程和运输量，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实的负运输量。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心是理清各仓库可调出总量和A、B两地需求总量的对应关系：已知甲运往A地x吨，先根据A地总需求70吨推出乙运往A地的量；再根据甲仓库总可调出100吨，推出甲运往B地的量；最后根据B地总需求110吨，减去甲运往B地的量即可得到乙运往B地的量，可通过乙仓库总调出量验证结果是否正确。
(2) 第二问求总运费函数式时，要明确运费计算规则：单条路线运费=每吨每千米运费×运输路程×运输吨数，将四条路线的运费相加后合并同类项即可得到函数表达式；自变量x的取值范围需结合实际意义，所有运输量不能为负数，据此列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 填表推导：
① 甲仓库运往A地水泥x吨，A地共需70吨，因此乙仓库运往A地的水泥量为$70-x$吨；
② 甲仓库总共可调出100吨水泥，因此甲仓库运往B地的水泥量为$100-x$吨；
③ B地共需110吨水泥，因此乙仓库运往B地的水泥量为$110-(100-x)=x+10$吨，验证乙仓库总调出量：$(70-x)+(x+10)=80$吨，符合乙仓库可调出80吨的条件。
(2) 计算总运费y的函数表达式：
总运费为四条运输路线的运费之和，列式计算：
$\begin{aligned}y&=12×20x+12×15(70-x)+10×25(100-x)+8×20(x+10)\\&=240x + 12600 - 180x + 25000 - 250x + 160x + 1600\\&=-30x + 39200\end{aligned}$
求自变量x的取值范围：
运输量不能为负数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\70-x≥0 \\100-x≥0 \\x+10≥0\end{cases}$
解得公共解集为$0≤ x≤70$。
【答案】
(1) 甲仓库运往两地的水泥数量依次为$x$、$100-x$；乙仓库运往两地的水泥数量依次为$70-x$、$x+10$
(2) $y=-30x+39200(0≤ x≤70)$
【知识点】
列代数式；一次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于典型的调运类一次函数应用题，解题关键是梳理清楚各运输方的调出量和收货点的需求量之间的数量关系，计算总费用时要准确对应每条路线的单价、路程和运输量，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实的负运输量。
【难度系数】
0.7
