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9.已知点$(-2,y_1),(-1,y_2),(4,y_3)$在函数$y=x^2+2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
B
）A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
B
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，有两种常用思路：①代入法：直接将每个点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的y值后比较大小；②性质法：先分析二次函数$y=x^2+2$的性质，该函数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=x^2+2$计算：
当$x=-2$时，$y_1=(-2)^2+2=4+2=6$；
当$x=-1$时，$y_2=(-1)^2+2=1+2=3$；
当$x=4$时，$y_3=4^2+2=16+2=18$。
因为$3＜6＜18$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（性质比较法）：
二次函数$y=x^2+2$的开口向上，对称轴为直线$x=0$，各点到对称轴的距离为：
$|-2-0|=2$，$|-1-0|=1$，$|4-0|=4$，
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$1＜2＜4$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题属于二次函数基础考题，两种解题方法都要熟练掌握，代入法思路直接不易出错，性质法解题速度更快，适合做选择填空时快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，有两种常用思路：①代入法：直接将每个点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的y值后比较大小；②性质法：先分析二次函数$y=x^2+2$的性质，该函数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可比较y值大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=x^2+2$计算：
当$x=-2$时，$y_1=(-2)^2+2=4+2=6$；
当$x=-1$时，$y_2=(-1)^2+2=1+2=3$；
当$x=4$时，$y_3=4^2+2=16+2=18$。
因为$3＜6＜18$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（性质比较法）：
二次函数$y=x^2+2$的开口向上，对称轴为直线$x=0$，各点到对称轴的距离为：
$|-2-0|=2$，$|-1-0|=1$，$|4-0|=4$，
因为开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$1＜2＜4$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题属于二次函数基础考题，两种解题方法都要熟练掌握，代入法思路直接不易出错，性质法解题速度更快，适合做选择填空时快速得到结果。
【难度系数】
0.8
变式训练
已知函数表达式,判断函数值大小→已知函数值大小,判断表达式中字母的取值范围
已知点$(-2,y_{1}),(3,y_{2})$都在二次函数$y=(m-3)x^{2}+4$的图象上,且$y_{1}＜y_{2}$,则$m$的取值范围是
已知函数表达式,判断函数值大小→已知函数值大小,判断表达式中字母的取值范围
已知点$(-2,y_{1}),(3,y_{2})$都在二次函数$y=(m-3)x^{2}+4$的图象上,且$y_{1}＜y_{2}$,则$m$的取值范围是
$m＞3$
.答案
$m＞3$
解析
【分析】
解题时先明确所给二次函数为$y=ax^2+k$的形式，这类函数的对称轴为y轴（直线$x=0$）。要根据$y_1＜y_2$求$m$的取值范围，步骤如下：第一步，先计算两个已知点到对称轴的距离；第二步，结合距离大小和函数值大小关系，判断二次函数的开口方向：若离对称轴越远函数值越大，说明开口向上，反之则开口向下；第三步，根据开口方向和二次项系数的关系列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，注意二次项系数不能为0。
【解析】
解：二次函数$y=(m-3)x^2+4$的对称轴为直线$x=0$（y轴）。
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-0|=2$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-0|=3$。
已知$2＜3$且$y_1＜y_2$，说明该二次函数图象上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此二次函数开口向上。
二次函数开口向上时，二次项系数大于0，即$m-3＞0$，解得$m＞3$，此时$m-3≠0$，满足二次函数的定义。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数开口与系数的关系、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心是利用二次函数的对称性，结合两点到对称轴的距离和函数值的大小关系判断开口方向，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所给二次函数为$y=ax^2+k$的形式，这类函数的对称轴为y轴（直线$x=0$）。要根据$y_1＜y_2$求$m$的取值范围，步骤如下：第一步，先计算两个已知点到对称轴的距离；第二步，结合距离大小和函数值大小关系，判断二次函数的开口方向：若离对称轴越远函数值越大，说明开口向上，反之则开口向下；第三步，根据开口方向和二次项系数的关系列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，注意二次项系数不能为0。
【解析】
解：二次函数$y=(m-3)x^2+4$的对称轴为直线$x=0$（y轴）。
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-0|=2$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-0|=3$。
已知$2＜3$且$y_1＜y_2$，说明该二次函数图象上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此二次函数开口向上。
二次函数开口向上时，二次项系数大于0，即$m-3＞0$，解得$m＞3$，此时$m-3≠0$，满足二次函数的定义。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数开口与系数的关系、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心是利用二次函数的对称性，结合两点到对称轴的距离和函数值的大小关系判断开口方向，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
10.已知二次函数$y=ax^2+c$，当$x$分别取$x_1$，$x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当$x$取$x_1+x_2$时，函数值为（
A.$c$
B.$-c$
C.$a+c$
D.$a-c$
A
）A.$c$
B.$-c$
C.$a+c$
D.$a-c$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：该函数的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。当两个不同自变量对应的函数值相等时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，由此可推导出$x_1$和$x_2$的数量关系，再将$x_1+x_2$代入函数表达式即可求出对应函数值。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=ax^2+c$，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 当$x$分别取$x_1$、$x_2$（$x_1 ≠ x_2$）时函数值相等，
$\therefore$ $x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即$x_1=-x_2$，
$\therefore$ $x_1+x_2=0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2+c$，得$y=a × 0^2 + c = c$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的函数值计算
【点评】
本题考查二次函数对称性的基础应用，解题核心是根据相等的函数值推导出两个自变量互为相反数，再代入求值，熟练掌握二次函数的对称轴性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：该函数的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。当两个不同自变量对应的函数值相等时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，由此可推导出$x_1$和$x_2$的数量关系，再将$x_1+x_2$代入函数表达式即可求出对应函数值。
【解析】
解：$\because$ 二次函数解析式为$y=ax^2+c$，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 当$x$分别取$x_1$、$x_2$（$x_1 ≠ x_2$）时函数值相等，
$\therefore$ $x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即$x_1=-x_2$，
$\therefore$ $x_1+x_2=0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2+c$，得$y=a × 0^2 + c = c$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的函数值计算
【点评】
本题考查二次函数对称性的基础应用，解题核心是根据相等的函数值推导出两个自变量互为相反数，再代入求值，熟练掌握二次函数的对称轴性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11.[转化思想]如图，两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$与分别经过点$(-2,-1)$，$(2,-3)$且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
8
。答案
8
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，二者二次项系数完全相同，说明抛物线形状一致，$y_1$是由$y_2$向上平移2个单位得到的，因此同一横坐标下两条抛物线的竖直距离恒为2。再确定阴影的左右边界为平行于y轴的直线$x=-2$和$x=2$，两条直线的水平距离为4。此时可利用割补法，将不规则的阴影部分转化为长为4、宽为2的规则矩形，直接用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：$\because$ 两条抛物线的解析式分别为$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
$\therefore$ 同一$x$对应的纵坐标差为：$y_1 - y_2=(-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两抛物线的竖直距离恒为2
又$\because$ 左右两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，水平方向宽度为$2 - (-2)=4$
将阴影部分通过割补平移，可拼成一个长为4，宽为2的矩形
$\therefore$ 阴影面积$S=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数图象性质
【点评】
本题主要考查转化思想在面积计算中的应用，解题的关键是发现两条抛物线竖直距离恒定的特点，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积求解，避开了复杂的运算。
【难度系数】
0.7
首先观察两条抛物线的解析式，二者二次项系数完全相同，说明抛物线形状一致，$y_1$是由$y_2$向上平移2个单位得到的，因此同一横坐标下两条抛物线的竖直距离恒为2。再确定阴影的左右边界为平行于y轴的直线$x=-2$和$x=2$，两条直线的水平距离为4。此时可利用割补法，将不规则的阴影部分转化为长为4、宽为2的规则矩形，直接用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：$\because$ 两条抛物线的解析式分别为$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$
$\therefore$ 同一$x$对应的纵坐标差为：$y_1 - y_2=(-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两抛物线的竖直距离恒为2
又$\because$ 左右两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，水平方向宽度为$2 - (-2)=4$
将阴影部分通过割补平移，可拼成一个长为4，宽为2的矩形
$\therefore$ 阴影面积$S=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数图象性质
【点评】
本题主要考查转化思想在面积计算中的应用，解题的关键是发现两条抛物线竖直距离恒定的特点，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积求解，避开了复杂的运算。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=ax^2+n(an＜0)$的图象与抛物线$y=-2x^2$的开口大小和开口方向都相同，且$y=ax^2+n$的图象的顶点到x轴的距离为$\frac{1}{3}$。
(1)求a，n的值。
(2)指出抛物线$y=ax^2+n$的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(3)抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$经过怎样的变换得到？
(1)求a，n的值。
(2)指出抛物线$y=ax^2+n$的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(3)抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$经过怎样的变换得到？
答案
(1)$a=-2,n=\frac{1}{3}$.
(2)由(1)知抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2+\frac{1}{3}$,该抛物线的开口向下,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,\frac{1}{3})$.
(3)由(1)知$a=-2,n=\frac{1}{3}$,所以抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到.
(2)由(1)知抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2+\frac{1}{3}$,该抛物线的开口向下,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,\frac{1}{3})$.
(3)由(1)知$a=-2,n=\frac{1}{3}$,所以抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确二次函数的开口大小和方向由二次项系数a决定，已知两个抛物线开口大小、方向相同，可直接确定a的值；再结合an＜0的条件判断n的正负，最后根据顶点到x轴的距离等于顶点纵坐标的绝对值求出n的值。
(2) 得到a、n的取值后即可确定函数解析式，直接根据$y=ax^2+k$型二次函数的性质，对应写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可。
(3) 依据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，对比两个解析式的常数项差异，即可判断变换方式。
【解析】
(1) 解：
∵ 二次函数$y=ax^2+n$的图象与抛物线$y=-2x^2$的开口大小和开口方向都相同，
∴ 两个函数的二次项系数相等，即$a=-2$，
又
∵ $an＜0$，且$a=-2＜0$，
∴ $n＞0$，
∵ $y=ax^2+n$的顶点坐标为$(0,n)$，且顶点到x轴的距离为$\frac{1}{3}$，
∴ $|n|=\frac{1}{3}$，结合$n＞0$的结论，可得$n=\frac{1}{3}$。
(2) 将$a=-2$、$n=\frac{1}{3}$代入解析式，得抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2+\frac{1}{3}$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
$y=ax^2+k$型抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，
∴ 该抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,\frac{1}{3})$。
(3) 根据二次函数上下平移的规律：上下平移仅改变常数项，规律为“上加下减”，
$y=-2x^2$的常数项为0，$y=-2x^2+\frac{1}{3}$的常数项为$\frac{1}{3}$，
∴ 抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到。
【答案】
(1)$a=-2,n=\frac{1}{3}$；
(2)开口向下，对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,\frac{1}{3})$；
(3)向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到。
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数平移规律；二次函数系数的意义
【点评】
本题围绕$y=ax^2+k$型二次函数的核心基础知识点命题，解题关键是掌握二次项系数a对开口的影响、顶点坐标特征以及平移变换的规律，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先明确二次函数的开口大小和方向由二次项系数a决定，已知两个抛物线开口大小、方向相同，可直接确定a的值；再结合an＜0的条件判断n的正负，最后根据顶点到x轴的距离等于顶点纵坐标的绝对值求出n的值。
(2) 得到a、n的取值后即可确定函数解析式，直接根据$y=ax^2+k$型二次函数的性质，对应写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可。
(3) 依据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，对比两个解析式的常数项差异，即可判断变换方式。
【解析】
(1) 解：
∵ 二次函数$y=ax^2+n$的图象与抛物线$y=-2x^2$的开口大小和开口方向都相同，
∴ 两个函数的二次项系数相等，即$a=-2$，
又
∵ $an＜0$，且$a=-2＜0$，
∴ $n＞0$，
∵ $y=ax^2+n$的顶点坐标为$(0,n)$，且顶点到x轴的距离为$\frac{1}{3}$，
∴ $|n|=\frac{1}{3}$，结合$n＞0$的结论，可得$n=\frac{1}{3}$。
(2) 将$a=-2$、$n=\frac{1}{3}$代入解析式，得抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2+\frac{1}{3}$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
$y=ax^2+k$型抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，
∴ 该抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,\frac{1}{3})$。
(3) 根据二次函数上下平移的规律：上下平移仅改变常数项，规律为“上加下减”，
$y=-2x^2$的常数项为0，$y=-2x^2+\frac{1}{3}$的常数项为$\frac{1}{3}$，
∴ 抛物线$y=ax^2+n$可以由$y=-2x^2$向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到。
【答案】
(1)$a=-2,n=\frac{1}{3}$；
(2)开口向下，对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,\frac{1}{3})$；
(3)向上平移$\frac{1}{3}$个单位长度得到。
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数平移规律；二次函数系数的意义
【点评】
本题围绕$y=ax^2+k$型二次函数的核心基础知识点命题，解题关键是掌握二次项系数a对开口的影响、顶点坐标特征以及平移变换的规律，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
13. [分类讨论思想]如图,在平面直角坐标系中,已知顶点为$P(0,2)$的二次函数图象与$x$轴交于$A,B$两点,点$A$的坐标为$(2,0)$.
(1)求该二次函数的表达式,并写出点$B$的坐标;
(2)若点$C$在该二次函数的图象上,当$△ ABC$的面积为$12$时,求点$C$的坐标.
(1)求该二次函数的表达式,并写出点$B$的坐标;
(2)若点$C$在该二次函数的图象上,当$△ ABC$的面积为$12$时,求点$C$的坐标.
答案
(1)该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$,点$B$的坐标为$(-2,0)$.
(2)点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$.
(2)点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数顶点在y轴上，故可设解析式为$y=ax^2+k$的形式，先将顶点坐标代入确定$k$的值，再将点$A$的坐标代入求出$a$即可得到函数表达式；根据二次函数关于y轴对称的性质，结合点$A$的坐标直接推出点$B$的坐标。
(2) 先计算线段$AB$的长度，结合三角形面积公式求出点$C$的纵坐标的绝对值，再结合二次函数的最大值排除不符合的纵坐标取值，最后将符合的纵坐标代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设该二次函数的表达式为$y=ax^2+k$，
∵ 二次函数的顶点为$P(0,2)$，
∴ $k=2$，即表达式为$y=ax^2+2$，
将$A(2,0)$代入表达式得：$0=a× 2^2+2$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴ 二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
∵ 该二次函数的对称轴为y轴，点$A$、$B$是函数与x轴的交点，
∴ 点$B$与点$A$关于y轴对称，
∵ $A(2,0)$，
∴ $B(-2,0)$。
(2) 由点$A(2,0)$、$B(-2,0)$得$AB=2-(-2)=4$，
设点$C$的纵坐标为$y$，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × |y|=12$，
代入$AB=4$得：$\frac{1}{2}× 4 × |y|=12$，
解得$|y|=6$，即$y=6$或$y=-6$。
∵ 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+2$的最大值为$2$，故$y=6$不符合题意，舍去，
将$y=-6$代入函数表达式得：$-6=-\frac{1}{2}x^2+2$，
解得$x^2=16$，即$x=\pm 4$，
∴ 点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$。
【答案】
(1) 该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$，点$B$的坐标为$(-2,0)$；
(2) 点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数与面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时需合理利用二次函数的形式和对称性简化计算，求解纵坐标时要注意结合二次函数的最值排除不符合的解，体现了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数顶点在y轴上，故可设解析式为$y=ax^2+k$的形式，先将顶点坐标代入确定$k$的值，再将点$A$的坐标代入求出$a$即可得到函数表达式；根据二次函数关于y轴对称的性质，结合点$A$的坐标直接推出点$B$的坐标。
(2) 先计算线段$AB$的长度，结合三角形面积公式求出点$C$的纵坐标的绝对值，再结合二次函数的最大值排除不符合的纵坐标取值，最后将符合的纵坐标代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设该二次函数的表达式为$y=ax^2+k$，
∵ 二次函数的顶点为$P(0,2)$，
∴ $k=2$，即表达式为$y=ax^2+2$，
将$A(2,0)$代入表达式得：$0=a× 2^2+2$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴ 二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
∵ 该二次函数的对称轴为y轴，点$A$、$B$是函数与x轴的交点，
∴ 点$B$与点$A$关于y轴对称，
∵ $A(2,0)$，
∴ $B(-2,0)$。
(2) 由点$A(2,0)$、$B(-2,0)$得$AB=2-(-2)=4$，
设点$C$的纵坐标为$y$，
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × |y|=12$，
代入$AB=4$得：$\frac{1}{2}× 4 × |y|=12$，
解得$|y|=6$，即$y=6$或$y=-6$。
∵ 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+2$的最大值为$2$，故$y=6$不符合题意，舍去，
将$y=-6$代入函数表达式得：$-6=-\frac{1}{2}x^2+2$，
解得$x^2=16$，即$x=\pm 4$，
∴ 点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$。
【答案】
(1) 该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$，点$B$的坐标为$(-2,0)$；
(2) 点$C$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,-6)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数与面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时需合理利用二次函数的形式和对称性简化计算，求解纵坐标时要注意结合二次函数的最值排除不符合的解，体现了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
