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1.(新知回顾)观察下图,有一边为m的三个长方形拼在一起,用不同的方法表示整个图形的面积,可以说明下列哪个等式成立 (
A.$ m(a+b+c)=ma+mb+mc $
B.$ (a+b)m=(b+c)m $
C.$ a(a+b+c)=a^2+ab+ac $
D.$ ma+mb+mc=a^2+b^2+c^2 $
A
)A.$ m(a+b+c)=ma+mb+mc $
B.$ (a+b)m=(b+c)m $
C.$ a(a+b+c)=a^2+ab+ac $
D.$ ma+mb+mc=a^2+b^2+c^2 $
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可从两个角度计算拼接后大长方形的面积：一是把整个图形看作一个大长方形，直接用长乘宽计算面积；二是把大图形拆成3个小长方形，分别计算面积后求和。由于两种方式计算的是同一个图形的面积，结果相等，联立两个表达式就能得到对应的等式，再匹配选项即可。
【解析】
① 整体法计算面积：
拼接后的大长方形的宽为$m$，长为三个小长方形的长之和$a+b+c$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积：
$S = m(a+b+c)$
② 分割求和法计算面积：
三个小长方形的面积分别为$ma$、$mb$、$mc$，总面积为三个小长方形面积之和：
$S = ma + mb + mc$
因为两种方法计算的总面积相等，因此可得等式$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式、乘法分配律
【点评】
本题借助几何图形的面积计算验证整式乘法的运算规律，渗透了数形结合的思想，解题的核心是掌握用整体法和分割法计算组合图形面积的方法。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度计算拼接后大长方形的面积：一是把整个图形看作一个大长方形，直接用长乘宽计算面积；二是把大图形拆成3个小长方形，分别计算面积后求和。由于两种方式计算的是同一个图形的面积，结果相等，联立两个表达式就能得到对应的等式，再匹配选项即可。
【解析】
① 整体法计算面积：
拼接后的大长方形的宽为$m$，长为三个小长方形的长之和$a+b+c$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积：
$S = m(a+b+c)$
② 分割求和法计算面积：
三个小长方形的面积分别为$ma$、$mb$、$mc$，总面积为三个小长方形面积之和：
$S = ma + mb + mc$
因为两种方法计算的总面积相等，因此可得等式$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式、乘法分配律
【点评】
本题借助几何图形的面积计算验证整式乘法的运算规律，渗透了数形结合的思想，解题的核心是掌握用整体法和分割法计算组合图形面积的方法。
【难度系数】
0.9
2. $x(x^3 -1)=x· x^3 +$
【变式·整体思想】已知$x^2 +2x -1=0$，则代数式$4x(x+1)-2x^2 -3$的值为（
A.1
B.$-1$
C.5
D.$-5$
$x·(-1)$
$=$ $x^4 -x$
.【变式·整体思想】已知$x^2 +2x -1=0$，则代数式$4x(x+1)-2x^2 -3$的值为（
B
）A.1
B.$-1$
C.5
D.$-5$
答案
2.$x·(-1)$；$x^4 -x$ 【变式·整体思想】B
解析
【分析】
对于前两个填空：解题需依据单项式乘多项式的运算法则，即单项式与多项式相乘时，用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，据此拆分运算并化简结果即可。
对于变式题：不需要求出x的具体值，先将所求代数式展开、合并同类项化简，观察化简后的式子与已知等式的关联，将已知等式变形得到$x^2+2x=1$，整体代入化简后的式子即可计算出结果。
【解析】
1. 计算$x(x^3 -1)$：
根据单项式乘多项式法则可得：
$x(x^3 -1)=x·x^3 + x·(-1)$
再计算幂的运算与合并结果：$x·x^3=x^{1+3}=x^4$，因此最终结果为$x^4 -x$。
2. 变式题计算：
先化简代数式$4x(x+1)-2x^2 -3$：
① 展开单项式乘多项式：$4x(x+1)=4x^2+4x$，代入原式得$4x^2+4x-2x^2-3$；
② 合并同类项：$(4x^2-2x^2)+4x-3=2x^2+4x-3$，提取公因式变形为$2(x^2+2x)-3$；
③ 由已知$x^2+2x-1=0$，移项得$x^2+2x=1$，代入上式得$2×1 -3=-1$，故选B。
【答案】
$x·(-1)$；$x^4 -x$；【变式】B
【知识点】
单项式乘多项式法则，整式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基础运算和整体代入的思想方法，熟练掌握单项式乘多项式的运算步骤是解题基础，利用整体代换可以避免求解未知数的具体值，简化计算过程，是整式运算的常见考法。
【难度系数】
0.8
对于前两个填空：解题需依据单项式乘多项式的运算法则，即单项式与多项式相乘时，用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，据此拆分运算并化简结果即可。
对于变式题：不需要求出x的具体值，先将所求代数式展开、合并同类项化简，观察化简后的式子与已知等式的关联，将已知等式变形得到$x^2+2x=1$，整体代入化简后的式子即可计算出结果。
【解析】
1. 计算$x(x^3 -1)$：
根据单项式乘多项式法则可得：
$x(x^3 -1)=x·x^3 + x·(-1)$
再计算幂的运算与合并结果：$x·x^3=x^{1+3}=x^4$，因此最终结果为$x^4 -x$。
2. 变式题计算：
先化简代数式$4x(x+1)-2x^2 -3$：
① 展开单项式乘多项式：$4x(x+1)=4x^2+4x$，代入原式得$4x^2+4x-2x^2-3$；
② 合并同类项：$(4x^2-2x^2)+4x-3=2x^2+4x-3$，提取公因式变形为$2(x^2+2x)-3$；
③ 由已知$x^2+2x-1=0$，移项得$x^2+2x=1$，代入上式得$2×1 -3=-1$，故选B。
【答案】
$x·(-1)$；$x^4 -x$；【变式】B
【知识点】
单项式乘多项式法则，整式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基础运算和整体代入的思想方法，熟练掌握单项式乘多项式的运算步骤是解题基础，利用整体代换可以避免求解未知数的具体值，简化计算过程，是整式运算的常见考法。
【难度系数】
0.8
3. 新情境 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：$-4xy(3y - 2x + 3) = -12xy^2 + □ -12xy$，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（
A.$8x^2y$
B.$-8x^2y$
C.$8xy$
D.$-8xy^2$
A
）A.$8x^2y$
B.$-8x^2y$
C.$8xy$
D.$-8xy^2$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再将所有积相加。本题需要先将等号左侧的单项式乘多项式完整展开，再和等号右侧已有的项对比，即可得到被墨水遮挡的项，计算过程中要重点注意符号的判断，避免因符号出错选错答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开左侧式子：
$-4xy(3y - 2x + 3)$
$=-4xy · 3y + (-4xy) · (-2x) + (-4xy) · 3$
$=-12xy^2 + 8x^2y - 12xy$
将展开结果与题干中等号右侧的式子$-12xy^2 + □ -12xy$对比，可知内应填$8x^2y$。
【答案】
A
【知识点】
1.单项式乘多项式
2.单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的关键是准确判断运算符号，正确计算同底数幂的指数，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再将所有积相加。本题需要先将等号左侧的单项式乘多项式完整展开，再和等号右侧已有的项对比，即可得到被墨水遮挡的项，计算过程中要重点注意符号的判断，避免因符号出错选错答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开左侧式子：
$-4xy(3y - 2x + 3)$
$=-4xy · 3y + (-4xy) · (-2x) + (-4xy) · 3$
$=-12xy^2 + 8x^2y - 12xy$
将展开结果与题干中等号右侧的式子$-12xy^2 + □ -12xy$对比，可知内应填$8x^2y$。
【答案】
A
【知识点】
1.单项式乘多项式
2.单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的关键是准确判断运算符号，正确计算同底数幂的指数，熟练掌握运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4.计算:
(1)$3a(a^2 - 2a - 3)$;
(2)$(a + b^2 - c^2) · (-2a^2)$;
(3)$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^2(3xy - 4xy^2 + 1)$.
(1)$3a(a^2 - 2a - 3)$;
(2)$(a + b^2 - c^2) · (-2a^2)$;
(3)$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^2(3xy - 4xy^2 + 1)$.
答案
4.解: (1)$3a^3 -6a^2 -9a$. (2)$-2a^3 -2a^2b^2 +2a^2c^2$. (3)$\frac{3}{4}x^3y^5 -x^3y^6 +\frac{1}{4}x^2y^4$.
解析
【分析】
解决这类单项式与多项式相乘的题目，核心思路是运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算前先观察式子结构，若含有乘方运算，需先算乘方，再进行乘法运算；运算过程中要注意系数的符号、同底数幂的乘法规则，避免出现符号错误或指数计算错误。
(1) 第一问是单项式3a乘三项式，直接用3a依次乘多项式的每一项，再合并结果即可；
(2) 第二问要注意单项式是-2a²，乘每一项时要带符号计算，避免符号出错；
(3) 第三问先计算单项式的平方，再用得到的单项式乘后面的多项式即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$3a(a^2 - 2a - 3) = 3a·a^2 + 3a·(-2a) + 3a·(-3) = 3a^3 - 6a^2 - 9a$
(2) 带符号用单项式乘多项式每一项：
$(a + b^2 - c^2)·(-2a^2) = a·(-2a^2) + b^2·(-2a^2) + (-c^2)·(-2a^2) = -2a^3 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2$
(3) 先算乘方，再进行乘法运算：
先计算$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2·x^2·(y^2)^2 = \dfrac{1}{4}x^2y^4$
再用所得单项式乘多项式：
$\dfrac{1}{4}x^2y^4(3xy - 4xy^2 + 1) = \dfrac{1}{4}x^2y^4·3xy + \dfrac{1}{4}x^2y^4·(-4xy^2) + \dfrac{1}{4}x^2y^4·1 = \dfrac{3}{4}x^3y^5 - x^3y^6 + \dfrac{1}{4}x^2y^4$
【答案】
(1)$3a^3 -6a^2 -9a$；(2)$-2a^3 -2a^2b^2 +2a^2c^2$；(3)$\frac{3}{4}x^3y^5 -x^3y^6 +\frac{1}{4}x^2y^4$
【知识点】
单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算规则的掌握程度，运算时要注意运算顺序：先乘方再乘法，同时要注意负号的处理，避免因符号或指数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
解决这类单项式与多项式相乘的题目，核心思路是运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算前先观察式子结构，若含有乘方运算，需先算乘方，再进行乘法运算；运算过程中要注意系数的符号、同底数幂的乘法规则，避免出现符号错误或指数计算错误。
(1) 第一问是单项式3a乘三项式，直接用3a依次乘多项式的每一项，再合并结果即可；
(2) 第二问要注意单项式是-2a²，乘每一项时要带符号计算，避免符号出错；
(3) 第三问先计算单项式的平方，再用得到的单项式乘后面的多项式即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$3a(a^2 - 2a - 3) = 3a·a^2 + 3a·(-2a) + 3a·(-3) = 3a^3 - 6a^2 - 9a$
(2) 带符号用单项式乘多项式每一项：
$(a + b^2 - c^2)·(-2a^2) = a·(-2a^2) + b^2·(-2a^2) + (-c^2)·(-2a^2) = -2a^3 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2$
(3) 先算乘方，再进行乘法运算：
先计算$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2·x^2·(y^2)^2 = \dfrac{1}{4}x^2y^4$
再用所得单项式乘多项式：
$\dfrac{1}{4}x^2y^4(3xy - 4xy^2 + 1) = \dfrac{1}{4}x^2y^4·3xy + \dfrac{1}{4}x^2y^4·(-4xy^2) + \dfrac{1}{4}x^2y^4·1 = \dfrac{3}{4}x^3y^5 - x^3y^6 + \dfrac{1}{4}x^2y^4$
【答案】
(1)$3a^3 -6a^2 -9a$；(2)$-2a^3 -2a^2b^2 +2a^2c^2$；(3)$\frac{3}{4}x^3y^5 -x^3y^6 +\frac{1}{4}x^2y^4$
【知识点】
单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算规则的掌握程度，运算时要注意运算顺序：先乘方再乘法，同时要注意负号的处理，避免因符号或指数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
5. 立德树人·传统文化 剪纸是中国特有的民间艺术.春节临近,王奶奶剪出了一幅长方形剪纸(如图),这幅剪纸的一边长为$x$ cm,与其相邻的另一边长为$(2x - 5)$cm,则这幅剪纸的面积为
$2x^2 -5x$
cm².答案
5.$2x^2 -5x$
解析
【分析】
要计算长方形剪纸的面积，首先回忆长方形的面积公式：面积=长×宽。题目已经给出相邻两边的长度分别为$x$ cm和$(2x-5)$cm，只需将两边长度代入公式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则展开计算即可得到结果。
【解析】
根据长方形面积公式，这幅剪纸的面积为两边长度的乘积：
$\begin{aligned}&\phantom{=}x·(2x-5)\\&=x·2x + x·(-5)\\&=2x^2 -5x\end{aligned}$
【答案】
$2x^2 -5x$
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘多项式
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查整式基础运算，解题关键是牢记长方形面积公式和单项式乘多项式的运算规则，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要计算长方形剪纸的面积，首先回忆长方形的面积公式：面积=长×宽。题目已经给出相邻两边的长度分别为$x$ cm和$(2x-5)$cm，只需将两边长度代入公式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则展开计算即可得到结果。
【解析】
根据长方形面积公式，这幅剪纸的面积为两边长度的乘积：
$\begin{aligned}&\phantom{=}x·(2x-5)\\&=x·2x + x·(-5)\\&=2x^2 -5x\end{aligned}$
【答案】
$2x^2 -5x$
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘多项式
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查整式基础运算，解题关键是牢记长方形面积公式和单项式乘多项式的运算规则，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
6.如果一个三角形的底边长为$2x^2y + xy - y^2$，高为$6xy$，则这个三角形的面积是（
A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^3y^2 + 3xy - 3xy^3$
C.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^3y^2 + 3x^2y^2$
A
）A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^3y^2 + 3xy - 3xy^3$
C.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^3y^2 + 3x^2y^2$
答案
6.A
解析
【分析】
要计算三角形的面积，首先回忆三角形面积计算公式：三角形面积=1/2×底×高。已知底和高的表达式，我们只需要将对应数值代入公式，再运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可，计算时注意每一项都要相乘，不要漏项，同时注意符号的处理。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}× 底× 高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式和单项式乘多项式的运算法则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，也要注意负号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要计算三角形的面积，首先回忆三角形面积计算公式：三角形面积=1/2×底×高。已知底和高的表达式，我们只需要将对应数值代入公式，再运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可，计算时注意每一项都要相乘，不要漏项，同时注意符号的处理。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}× 底× 高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；单项式乘多项式
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式和单项式乘多项式的运算法则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，也要注意负号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
