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知识点 同底数幂的乘法
$a^m · a^n = $
$ = \underbrace{a · a · \dots · a}_{(m+n)个a} = \_\_\_\_\_\_.$
1. 符号语言：$\_\_\_\_\_\_ (m,n都是正整数).$
2. 文字语言：同底数幂相乘，底数________，指数$\_\_\_\_\_\_.$
$a^m · a^n = $
$ = \underbrace{a · a · \dots · a}_{(m+n)个a} = \_\_\_\_\_\_.$1. 符号语言：$\_\_\_\_\_\_ (m,n都是正整数).$
2. 文字语言：同底数幂相乘，底数________，指数$\_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
$a^m · a^n = \underbrace{(a·a·\dots·a)}_{m个a}·\underbrace{(a·a·\dots·a)}_{n个a}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{(m+n)个a}=\underline{a^{m+n}}$。
1. 符号语言：$\underline{a^m·a^n = a^{m+n}}$（$m,n$都是正整数）。
2. 文字语言：同底数幂相乘，底数$\underline{不变}$，指数$\underline{相加}$。
$a^m · a^n = \underbrace{(a·a·\dots·a)}_{m个a}·\underbrace{(a·a·\dots·a)}_{n个a}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{(m+n)个a}=\underline{a^{m+n}}$。
1. 符号语言：$\underline{a^m·a^n = a^{m+n}}$（$m,n$都是正整数）。
2. 文字语言：同底数幂相乘，底数$\underline{不变}$，指数$\underline{相加}$。
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的推导与表述，解题思路如下：第一步，先结合乘方的意义，将$a^m$转化为m个a相乘的形式，$a^n$转化为n个a相乘的形式；第二步，计算两个乘积的乘积，可得到总共有$m+n$个a相乘；第三步，再根据乘方的意义，将$m+n$个a相乘写成对应的幂的形式；最后对应总结出同底数幂乘法的符号语言和文字语言即可。
【解析】
根据乘方的意义可知：
$a^m=\underbrace{a· a· \dots · a}_{m个a}$，$a^n=\underbrace{a· a· \dots · a}_{n个a}$
因此$a^m· a^n = \underbrace{(a· a· \dots · a)}_{m个a}· \underbrace{(a· a· \dots · a)}_{n个a}=\underbrace{a· a· \dots · a}_{(m+n)个a}$
根据乘方的定义，$m+n$个a相乘可表示为$a^{m+n}$。
1. 由此推导可总结同底数幂乘法的符号语言：$a^m· a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。
2. 对应文字语言表述为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【答案】
$a^{m+n}$；1. $a^m· a^n = a^{m+n}$；2. 不变，相加
【知识点】
同底数幂的乘法法则，乘方的意义
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础概念题，依托乘方的意义推导运算法则，能帮助大家理解法则的来源，该法则是后续幂相关运算的基础，需要熟练掌握其符号和文字两种表述形式。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂乘法法则的推导与表述，解题思路如下：第一步，先结合乘方的意义，将$a^m$转化为m个a相乘的形式，$a^n$转化为n个a相乘的形式；第二步，计算两个乘积的乘积，可得到总共有$m+n$个a相乘；第三步，再根据乘方的意义，将$m+n$个a相乘写成对应的幂的形式；最后对应总结出同底数幂乘法的符号语言和文字语言即可。
【解析】
根据乘方的意义可知：
$a^m=\underbrace{a· a· \dots · a}_{m个a}$，$a^n=\underbrace{a· a· \dots · a}_{n个a}$
因此$a^m· a^n = \underbrace{(a· a· \dots · a)}_{m个a}· \underbrace{(a· a· \dots · a)}_{n个a}=\underbrace{a· a· \dots · a}_{(m+n)个a}$
根据乘方的定义，$m+n$个a相乘可表示为$a^{m+n}$。
1. 由此推导可总结同底数幂乘法的符号语言：$a^m· a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。
2. 对应文字语言表述为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【答案】
$a^{m+n}$；1. $a^m· a^n = a^{m+n}$；2. 不变，相加
【知识点】
同底数幂的乘法法则，乘方的意义
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础概念题，依托乘方的意义推导运算法则，能帮助大家理解法则的来源，该法则是后续幂相关运算的基础，需要熟练掌握其符号和文字两种表述形式。
【难度系数】
0.9
例 若$2^m · 2^n = 32$,则$m+n$的值为 ()
A.6
B.5
C.4
D.3
分析:∵ $2^m · 2^n = 2^{m+n} = 32 = 2^5$,
∴ $m+n=5$.
答案:B
方法点拨 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,据此解答即可.
A.6
B.5
C.4
D.3
分析:∵ $2^m · 2^n = 2^{m+n} = 32 = 2^5$,
∴ $m+n=5$.
答案:B
方法点拨 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,据此解答即可.
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察等式结构，发现左侧是两个同底数（底数为2）的幂相乘，首先回忆同底数幂的乘法法则，先将左侧化简为$2^{m+n}$；再将右侧的常数32转化为以2为底的幂的形式，即$2^5$，此时等式两侧是底数相同且不为0、1的幂，根据幂相等的性质，相等的同底数幂指数也相等，即可直接求出$m+n$的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^m · 2^n = 2^{m+n}$
又因为$32=2^5$，因此原等式可转化为：
$2^{m+n}=2^5$
由于底数为2（不为0且不为1）的两个幂相等时，指数相等，因此：
$m+n=5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握同底数幂的运算规则，同时能将常数转化为对应底数的幂的形式，进而通过指数相等求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察等式结构，发现左侧是两个同底数（底数为2）的幂相乘，首先回忆同底数幂的乘法法则，先将左侧化简为$2^{m+n}$；再将右侧的常数32转化为以2为底的幂的形式，即$2^5$，此时等式两侧是底数相同且不为0、1的幂，根据幂相等的性质，相等的同底数幂指数也相等，即可直接求出$m+n$的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^m · 2^n = 2^{m+n}$
又因为$32=2^5$，因此原等式可转化为：
$2^{m+n}=2^5$
由于底数为2（不为0且不为1）的两个幂相等时，指数相等，因此：
$m+n=5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握同底数幂的运算规则，同时能将常数转化为对应底数的幂的形式，进而通过指数相等求解。
【难度系数】
0.9
我们规定一个新数$i$,使其满足$i^2=-1$,并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算法则仍然成立,于是有$i^1=i$,$i^2=-1$,$i^3=i^2· i=(-1)· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,从而对任意正整数$n$,我们可得到$i^{4n+1}=i^{4n}· i=(i^4)^n· i=i$,同理可得$i^{4n+2}=-1$,$i^{4n+3}=-i$,$i^{4n}=1$,那么$i+i^2+i^3+i^4+···+i^{2021}+i^{2022}+i^{2023}$的值为 (
A.0
B.1
C.-1
D.i
C
)A.0
B.1
C.-1
D.i
答案
C
解析
【分析】
首先观察题目给出的i的幂次运算规律，可发现i的幂次每4次为一个循环周期，且每个周期内4个项的和为0。解题时先计算单个周期的和，再计算总项数中包含多少个完整周期、剩余几项，最后将剩余项相加即可得到最终结果。
【解析】
首先计算1个周期内4项的和：
$i^1+i^2+i^3+i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$
从$i^1$到$i^{2023}$共2023项，计算周期数：
$2023 ÷ 4 = 505······3$，即包含505个完整周期，剩余最后3项分别为$i^{2021}$、$i^{2022}$、$i^{2023}$。
根据规律：$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，可得：
$i^{2021}=i^{4×505+1}=i$，$i^{2022}=i^{4×505+2}=-1$，$i^{2023}=i^{4×505+3}=-i$
所以原式的和为：
$505×0 + i + (-1) + (-i) = -1$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，幂的运算，规律探究
【点评】
本题结合新定义考查规律探究能力和幂的相关运算，解题核心是找到i的幂次的循环周期，利用周期将长序列求和简化，解题时需注意准确计算剩余项对应的幂次结果，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的i的幂次运算规律，可发现i的幂次每4次为一个循环周期，且每个周期内4个项的和为0。解题时先计算单个周期的和，再计算总项数中包含多少个完整周期、剩余几项，最后将剩余项相加即可得到最终结果。
【解析】
首先计算1个周期内4项的和：
$i^1+i^2+i^3+i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$
从$i^1$到$i^{2023}$共2023项，计算周期数：
$2023 ÷ 4 = 505······3$，即包含505个完整周期，剩余最后3项分别为$i^{2021}$、$i^{2022}$、$i^{2023}$。
根据规律：$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，可得：
$i^{2021}=i^{4×505+1}=i$，$i^{2022}=i^{4×505+2}=-1$，$i^{2023}=i^{4×505+3}=-i$
所以原式的和为：
$505×0 + i + (-1) + (-i) = -1$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，幂的运算，规律探究
【点评】
本题结合新定义考查规律探究能力和幂的相关运算，解题核心是找到i的幂次的循环周期，利用周期将长序列求和简化，解题时需注意准确计算剩余项对应的幂次结果，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
