1. (2024 淄博中考改)如图,点 E,F 在线段 BD 上,$AE= CF,AF= CE,DE= BF$. 求证:$AB// CD.$

证明:在$\triangle AEF$和$\triangle CFE$中,
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ AF=CE,\\ EF=FE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle CFE(SSS),$
$\therefore ∠AEB=∠CFD.$
$\because BF=DE,$
$\therefore BF+EF=DE+EF,$
即$BE=DF.$
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中,
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠AEB=∠CFD,\\ BE=DF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle CDF(SAS),$
$\therefore ∠B=∠D,$
$\therefore AB// CD.$

2. 如图,在四边形 ABCD 中,E,H 分别为 BA,DC 延长线上的点,连接 EH,分别交 AD,BC 于点 F,G,$BE= DH,EF= HG,∠E= ∠H$. 求证:$AF= CG.$

证明:$\because EF=HG,$
$\therefore EF+FG=HG+FG,$
即$EG=HF.$
在$\triangle EBG$和$\triangle HDF$中,
$\left\{\begin{array}{l} BE=DH,\\ ∠E=∠H,\\ EG=HF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle EBG\cong \triangle HDF(SAS),$
$\therefore ∠BGE=∠DFH.$
$\because ∠AFE=∠DFH,$
$∠CGH=∠BGE,$
$\therefore ∠AFE=∠CGH.$
在$\triangle AEF$和$\triangle CHG$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠E=∠H,\\ EF=HG,\\ ∠AFE=∠CGH,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle CHG(ASA),$
$\therefore AF=CG.$

3. 如图,$AD⊥BC$于点 D,点 E 在 AD 上,$DE= DC,BE= AC$,F 为 BC 的中点,连接 EF 并延长至点 M,使$FM= EF$,连接 CM.
(1)求证:$BE⊥AC;$
(2)试判断 AC 和 MC 之间的关系并证明.

解:(1)延长$BE$交$AC$于点$G$.
$\because AD⊥BC,$
$\therefore ∠BDE=∠ADC=90^{\circ }.$
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle ADC$中,
$\left\{\begin{array}{l} BE=AC,\\ DE=DC,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC(HL),$
$\therefore ∠CBE=∠CAD.$
$\because ∠CAD+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore ∠CBE+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore BE⊥AC;$
(2)$AC=MC$且$AC⊥MC.$
理由:
$\because F$为$BC$的中点,
$\therefore BF=CF.$
在$\triangle BFE$与$\triangle CFM$中,
![img alt=3(2)]
$\left\{\begin{array}{l} BF=CF,\\ ∠BFE=∠CFM,\\ EF=FM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BFE\cong \triangle CFM(SAS),$
$\therefore ∠CBE=∠BCM,$
$BE=MC=AC,$
$\therefore BE// MC.$
$\because BE⊥AC,\therefore AC⊥MC,$
$\therefore AC=MC$且$AC⊥MC.$