【基本图形】 圆心在三线上
【已知条件】 $AB= AC(\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC})$.
【基本结论】 ①$AD\perp BC$;②$BD= CD$;③$OD\equalparallel \frac{1}{2}BE$;
④$\angle BAO= \angle CAO,\angle DOC= \angle BAC$;
⑤$\triangle AOB\cong \triangle AOC,\triangle ABD\cong \triangle ACD$.
【基本方法】 运用$CD^{2}= OC^{2}-OD^{2}= AC^{2}-AD^{2}$列方程.

【解析】：本题给出了一个关于圆的基本图形及相关条件和结论。已知$AB = AC(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC})$，在圆中，等弦对等弧，等弧对等弦。
对于①：因为$AB = AC$，$O$为圆心，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合），$A$、$O$所在直线为等腰$\triangle ABC$顶角$\angle BAC$的平分线，所以$AD\perp BC$。
对于②：同样由等腰三角形三线合一，$AD$是底边$BC$上的高，所以也是底边$BC$的中线，即$BD = CD$。
对于③：若$E$为圆上一点，连接$BE$，$O$为圆心，$D$为$BC$中点，当$O$为$AE$中点时，根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半），才有$OD//\frac{1}{2}BE$，但题目中未明确$O$为$AE$中点等相关条件，所以该结论不一定成立。
对于④：因为$AB = AC$，$OA = OA$，$OB = OC$（都是圆的半径），所以$\triangle AOB\cong\triangle AOC(SSS)$，则$\angle BAO=\angle CAO$；设$\angle BAC = 2\alpha$，因为$\triangle AOB\cong\triangle AOC$，所以$\angle AOB=\angle AOC = 180^{\circ}- 2\angle OAB$，$\angle DOC = 180^{\circ}-\angle AOC=2\alpha$，所以$\angle DOC=\angle BAC$。
对于⑤：因为$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAD$（由$\angle BAO=\angle CAO$可得），$AD = AD$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD(SAS)$；又因为$AB = AC$，$OA = OA$，$OB = OC$，所以$\triangle AOB\cong\triangle AOC(SSS)$。
对于基本方法：在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$CD^{2}=OC^{2}-OD^{2}$，在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$，所以可以运用$CD^{2}=OC^{2}-OD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$列方程求解相关线段长度。
【答案】：①因为$AB = AC$，$O$为圆心，根据等腰三角形三线合一可得$AD\perp BC$；②由等腰三角形三线合一可得$BD = CD$；③该结论不一定成立，需补充$O$为$AE$中点等条件；④因为$\triangle AOB\cong\triangle AOC$可得$\angle BAO=\angle CAO$，通过角度计算可得$\angle DOC=\angle BAC$；⑤由$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD = AD$可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，由$AB = AC$，$OA = OA$，$OB = OC$可得$\triangle AOB\cong\triangle AOC$；基本方法依据是在$Rt\triangle OCD$和$Rt\triangle ACD$中分别运用勾股定理得到$CD^{2}=OC^{2}-OD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$可列方程。

1.(教材$P_{89}T_{3}$变式)如图,$\triangle ABC的三个顶点都在\odot O$上,$AB= AC= \sqrt{10}$,连接$AO$.
(1)求证:$AO平分\angle BAC$;
(2)若$BC= 2$,求$OA$的长.

解: (1) 连接 $ OB, OC $.
$\because OA = OA, OB = OC, AB = AC $,
$\therefore \triangle OAB \cong \triangle OAC $,
$\therefore \angle OAB = \angle OAC $,
$\therefore AO $ 平分 $ \angle BAC $;
(2) 延长 $ AO $, 交 $ BC $ 于点 $ F $.
$\because AB = AC, AO $ 平分 $ \angle BAC $,
$\therefore AF \perp BC, BF = FC = 1 $,
$\therefore $ 在 $ Rt\triangle ABF $ 中,
$ AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = 3 $.
设 $ OA = OB = r $, 则 $ OF = 3 - r $,
$\therefore $ 在 $ Rt\triangle BOF $ 中,
$ r^2 = 1^2 + (3 - r)^2 $,
$\therefore r = \frac{5}{3} $, 即 $ OA $ 的长为 $ \frac{5}{3} $.

2.(原创题)如图,$AB是\odot O$的直径,$AT\perp AB$,$BT交\odot O于点C$,$CD是\odot O$的弦,且$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{CD}$.
(1)求证:$OD\perp BC$;
(2)求证:$\angle T= 2\angle CDO$.

证明: (1) 连接 $ BD, OC $,
$\because \widehat{BD} = \widehat{CD}, \therefore BD = CD $.
$\because OB = OC, OD = OD $,
$\therefore \triangle BOD \cong \triangle COD $,
$\therefore \angle BDO = \angle CDO $,
$\therefore OD \perp BC $;
(2) 连接 $ AC $. $\because AB $ 是直径,
$\therefore \angle BCA = 90^\circ $,
$\therefore \angle T + \angle TAC = \angle BAC + \angle TAC = 90^\circ $,
$\therefore \angle T = \angle BAC = \angle BDC $.
$\because \angle BDO = \angle CDO $,
$\therefore \angle T = 2\angle CDO $.

3.(原创题)如图,$AC$,$BE为\odot O$的两条弦,且$AE// BC$.
(1)求证:$AC= BE$;
(2)若$AC= BC$,$AB= 4$,$BE= 6$,求$\odot O$的半径.

解: (1) 连接 $ OE, OA, OB, OC $.
$\because AE // BC, \therefore \angle EAC = \angle ACB $,
$\therefore \angle EOC = 2\angle EAC = 2\angle ACB = \angle AOB $,
$\therefore \widehat{CE} = \widehat{AB}, \therefore \widehat{AC} = \widehat{BE} $,
$\therefore AC = BE $;
(2) 延长 $ CO $, 交 $ AB $ 于点 $ F $.
$\because AC = BC, OA = OB $,
$\therefore CO $ 垂直平分 $ AB $,
$\therefore AF = FB = \frac{1}{2}AB = 2 $.
由(1)知, $ AC = BE = 6 $,
$\therefore CF = \sqrt{AC^2 - AF^2} = 4\sqrt{2} $.
设 $ OA = OC = r $, 则 $ OF = 4\sqrt{2} - r $,
$\therefore $ 在 $ Rt\triangle AOF $ 中,
$ r^2 = (4\sqrt{2} - r)^2 + 2^2 $,
$\therefore r = \frac{9\sqrt{2}}{4} $, 即 $ \odot O $ 的半径为 $ \frac{9}{4}\sqrt{2} $.