1. 如图，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，则下列结论错误的是(
A.AD是$\triangle ABC$的角平分线
B.CE是$\triangle ACD$的角平分线
C.$∠3=\frac {1}{2}∠ACB$
D.$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$
D
)A.AD是$\triangle ABC$的角平分线
B.CE是$\triangle ACD$的角平分线
C.$∠3=\frac {1}{2}∠ACB$
D.$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$
答案
1.D
解析
证明：
∵∠1=∠2，
∴AD是△ABC的角平分线（A正确）。
∵∠3=∠4，
∴CE是△ACD的角平分线（B正确），且∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB（C正确）。
∵D不一定是BC中点，
∴S△ABD不一定等于S△ACD（D错误）。
结论错误的是D。
∵∠1=∠2，
∴AD是△ABC的角平分线（A正确）。
∵∠3=∠4，
∴CE是△ACD的角平分线（B正确），且∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB（C正确）。
∵D不一定是BC中点，
∴S△ABD不一定等于S△ACD（D错误）。
结论错误的是D。
2. 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，AD是边BC上的中线，$\triangle ABC$的周长为34cm，$\triangle ABD$的周长为30cm，则$AD=$
13
cm.答案
2.13
解析
解：
∵AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴BD=DC。
设AB=AC=x cm，BC=2y cm，则BD=DC=y cm。
∵△ABC的周长为34cm，
∴AB+AC+BC=34，即2x+2y=34，化简得x+y=17。
∵△ABD的周长为30cm，
∴AB+BD+AD=30，即x+y+AD=30。
将x+y=17代入x+y+AD=30，得17+AD=30，解得AD=13。
13
∵AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴BD=DC。
设AB=AC=x cm，BC=2y cm，则BD=DC=y cm。
∵△ABC的周长为34cm，
∴AB+AC+BC=34，即2x+2y=34，化简得x+y=17。
∵△ABD的周长为30cm，
∴AB+BD+AD=30，即x+y+AD=30。
将x+y=17代入x+y+AD=30，得17+AD=30，解得AD=13。
13
3. 如图，在$\triangle ABC$中，E是中线AD的中点.若$\triangle AEC$的面积为1，则$\triangle ABD$的面积为
2
.答案
3.2
解析
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC（等底同高的三角形面积相等）。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴S△AEC=S△EDC（等底同高的三角形面积相等）。
∵S△AEC=1，
∴S△EDC=1，
∴S△ADC=S△AEC+S△EDC=1+1=2，
∴S△ABD=S△ADC=2。
2
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC（等底同高的三角形面积相等）。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴S△AEC=S△EDC（等底同高的三角形面积相等）。
∵S△AEC=1，
∴S△EDC=1，
∴S△ADC=S△AEC+S△EDC=1+1=2，
∴S△ABD=S△ADC=2。
2
4. 如图，$∠ACB=90^{\circ }$，$AD=BD$，$DE⊥BC$，$CF⊥AB$，垂足分别为E，F，连接CD.
(1)在$\triangle ABC$中，
(2)在$\triangle BCD$中，
(1)在$\triangle ABC$中，
AC
是边BC上的高，CD
是$\triangle ABC$的中线；(2)在$\triangle BCD$中，
DE
是边BC上的高，CF
是边BD上的高.答案
4.(1)AC CD (2)DE CF
5. (2024·宿迁)如图，在$\triangle ABC$中，$∠B=50^{\circ }$，$∠C=30^{\circ }$，AD是高，按如图所示的作图痕迹作射线AF，则$∠DAF=$
10
°.答案
5.10
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$.
由作图痕迹知，AF平分$\angle BAC$，则$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAC=50^{\circ}$.
AD是高，$\angle ADB=90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.
故$\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$.
10
由作图痕迹知，AF平分$\angle BAC$，则$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAC=50^{\circ}$.
AD是高，$\angle ADB=90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.
故$\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$.
10
6. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$BC=4$，$AC=8$，E是AB的中点，连接DE，$CD=\frac {1}{4}BC$，则$\triangle BDE$的面积为
6
.答案
6.6 解析：连接CE.
∵E是AB的中点，即CE是△ABC的中线，
∴$S_{\triangle ECB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×8 = 8$.
∵$CD=\frac{1}{4}BC$，
∴$DB=\frac{3}{4}BC$,
∴$S_{\triangle BDE}=\frac{3}{4}S_{\triangle ECB}=\frac{3}{4}×8 = 6$.
∵E是AB的中点，即CE是△ABC的中线，
∴$S_{\triangle ECB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×8 = 8$.
∵$CD=\frac{1}{4}BC$，
∴$DB=\frac{3}{4}BC$,
∴$S_{\triangle BDE}=\frac{3}{4}S_{\triangle ECB}=\frac{3}{4}×8 = 6$.
7. 如图，AD，BE分别是$\triangle ABC$的角平分线，连接DE.若$∠CAB=∠CBA$，$DE// AB$.求证：$∠ADE=∠BED$.
答案
7.
∵AD，BE分别是△ABC的角平分线，
∴$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle CBA$.
∵$\angle CAB=\angle CBA$，
∴$\angle BAD=\angle ABE$.
∵DE//AB，
∴$\angle BAD=\angle ADE$，$\angle ABE=\angle BED$，
∴$\angle ADE=\angle BED$
∵AD，BE分别是△ABC的角平分线，
∴$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle CBA$.
∵$\angle CAB=\angle CBA$，
∴$\angle BAD=\angle ABE$.
∵DE//AB，
∴$\angle BAD=\angle ADE$，$\angle ABE=\angle BED$，
∴$\angle ADE=\angle BED$
