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23. (本题满分 11 分)
如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AC = BC = 4$,$AB = 4\sqrt{2}$。
(1) 求证：$\angle C = 90°$；
(2) 若点$D$是$AC$的中点，求$BD$的长。
如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AC = BC = 4$,$AB = 4\sqrt{2}$。
(1) 求证：$\angle C = 90°$；
(2) 若点$D$是$AC$的中点，求$BD$的长。
答案
(1) 见证明过程；(2) 2√5。
解析
(1) 证明：在△ABC中，AC=4，BC=4，AB=4√2。
AC² + BC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32，
AB² = (4√2)² = 32。
∴AC² + BC² = AB²，
∴∠C=90°。
(2) 解：
∵点D是AC的中点，AC=4，
∴CD=AC/2=2。
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=4，CD=2，
BD²=CD² + BC²=2² + 4²=4 + 16=20，
∴BD=√20=2√5。
AC² + BC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32，
AB² = (4√2)² = 32。
∴AC² + BC² = AB²，
∴∠C=90°。
(2) 解：
∵点D是AC的中点，AC=4，
∴CD=AC/2=2。
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=4，CD=2，
BD²=CD² + BC²=2² + 4²=4 + 16=20，
∴BD=√20=2√5。
