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1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。
(1) 尺规作图：过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $E$；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在 (1) 所作图形中，若 $AC = 4$，$BD = 2$，求 $\sin∠ BCD$ 的值。
(1) 尺规作图：过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $E$；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在 (1) 所作图形中，若 $AC = 4$，$BD = 2$，求 $\sin∠ BCD$ 的值。
答案
4/5
解析
(1) 作图痕迹：以点C为圆心，适当长为半径画弧交AB于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，过C与该交点作直线交AB于E，CE即为所求垂线。
(2) 菱形ABCD中，AC=4，BD=2，对角线互相垂直平分，∴AO=2，BO=1，∠AOB=90°。由勾股定理得AB=√(AO²+BO²)=√(2²+1²)=√5，即BC=√5。菱形面积S=(AC×BD)/2=(4×2)/2=4，又S=AB×CE，∴CE=4/√5=4√5/5。∵AB//CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，在Rt△CED中，sin∠BCD=CE/CD=CE/BC=(4√5/5)/√5=4/5。
(2) 菱形ABCD中，AC=4，BD=2，对角线互相垂直平分，∴AO=2，BO=1，∠AOB=90°。由勾股定理得AB=√(AO²+BO²)=√(2²+1²)=√5，即BC=√5。菱形面积S=(AC×BD)/2=(4×2)/2=4，又S=AB×CE，∴CE=4/√5=4√5/5。∵AB//CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，在Rt△CED中，sin∠BCD=CE/CD=CE/BC=(4√5/5)/√5=4/5。
2. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$。
(1) 用尺规在图中作出菱形 $BDEF$，且使点 $D$，$E$，$F$ 分别在边 $AB$，$AC$，$BC$ 上；
(2) 在 (1) 所作图形中，连接 $BE$。若 $\sin A = \frac{4}{5}$，求 $\tan∠ FEB$ 的值。
(1) 用尺规在图中作出菱形 $BDEF$，且使点 $D$，$E$，$F$ 分别在边 $AB$，$AC$，$BC$ 上；
(2) 在 (1) 所作图形中，连接 $BE$。若 $\sin A = \frac{4}{5}$，求 $\tan∠ FEB$ 的值。
答案
(1) 作图见解析；(2) 1/3
解析
(1) 尺规作图步骤：①作射线BM，在BM上截取BG=BC，GH=AB；②连接HB，过G作HB的平行线交AB于D；③以B为圆心，BD为半径画弧交BC于F；④过D作AC的垂线交AC于E；⑤连接EF，BDEF即为所求菱形。
(2) 设BC=4k，AB=5k，则AC=3k。设菱形边长为x，由DE//BC得△ADE∽△ABC，有x/4k=(5k-x)/5k，解得x=20k/9。则FC=4k-20k/9=16k/9，EC=AC·FC/BC=4k/3。因为EF//AB，∠FEB=∠ABE，在Rt△EBC中，tan∠ABE=EC/BC=(4k/3)/4k=1/3，故tan∠FEB=1/3。
(2) 设BC=4k，AB=5k，则AC=3k。设菱形边长为x，由DE//BC得△ADE∽△ABC，有x/4k=(5k-x)/5k，解得x=20k/9。则FC=4k-20k/9=16k/9，EC=AC·FC/BC=4k/3。因为EF//AB，∠FEB=∠ABE，在Rt△EBC中，tan∠ABE=EC/BC=(4k/3)/4k=1/3，故tan∠FEB=1/3。
3. (2025 福建中考改编) 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB ＜ AD$。
(1) 求作正方形 $EFGH$，使得点 $E$，$G$ 分别落在边 $AD$，$BC$ 上，点 $F$，$H$ 落在对角线 $BD$ 上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在 (1) 所作的图形中，若 $\tan∠ ADB = \frac{1}{2}$，求 $\frac{EF}{AB}$ 的值。
(1) 求作正方形 $EFGH$，使得点 $E$，$G$ 分别落在边 $AD$，$BC$ 上，点 $F$，$H$ 落在对角线 $BD$ 上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在 (1) 所作的图形中，若 $\tan∠ ADB = \frac{1}{2}$，求 $\frac{EF}{AB}$ 的值。
答案
$\frac{\sqrt{10}}{4}$
解析
(1) 尺规作图痕迹如图所示（保留作图痕迹略）。
(2) 设 $ AB = 1 $，由 $ \tan∠ ADB = \frac{1}{2} $ 得 $ AD = 2 $，建立坐标系：$ A(0,0) $，$ B(1,0) $，$ D(0,2) $，对角线 $ BD $ 方程为 $ y = -2x + 2 $。设正方形边长为 $ a $，通过坐标计算得 $ E(0,\frac{3}{4}) $，$ F(\frac{3}{4},\frac{1}{2}) $，$ EF = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \frac{\sqrt{10}}{4} $，故 $ \frac{EF}{AB} = \frac{\sqrt{10}}{4} $。
(2) 设 $ AB = 1 $，由 $ \tan∠ ADB = \frac{1}{2} $ 得 $ AD = 2 $，建立坐标系：$ A(0,0) $，$ B(1,0) $，$ D(0,2) $，对角线 $ BD $ 方程为 $ y = -2x + 2 $。设正方形边长为 $ a $，通过坐标计算得 $ E(0,\frac{3}{4}) $，$ F(\frac{3}{4},\frac{1}{2}) $，$ EF = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \frac{\sqrt{10}}{4} $，故 $ \frac{EF}{AB} = \frac{\sqrt{10}}{4} $。
