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(2025 福建中考改编)如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$AD$,$BC$ 的延长线相交于点 $E$,$AC$,$BD$ 相交于点 $F$.$G$ 是 $AB$ 上一点,$GD$ 交 $AC$ 于点 $H$,且 $AB = AC$,$BG = DG$.
(1)求证:$∠ ABC = ∠ DBE + ∠ E$;
(2)求证:$AH^{2} = HF· HC$;
(3)若$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,$AD = 2DE$,$CD = \sqrt{6}$,求$△ AGH$ 的周长.
(1)求证:$∠ ABC = ∠ DBE + ∠ E$;
(2)求证:$AH^{2} = HF· HC$;
(3)若$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,$AD = 2DE$,$CD = \sqrt{6}$,求$△ AGH$ 的周长.
答案
1. （1）证明$∠ ABC=∠ DBE + ∠ E$：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$∠ ADC+∠ ABC = 180^{\circ}$。
又因为$∠ ADC+∠ CDE = 180^{\circ}$，所以$∠ ABC=∠ CDE$。
而$∠ CDE=∠ DBE+∠ E$（三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），所以$∠ ABC=∠ DBE+∠ E$。
2. （2）证明$AH^{2}=HF· HC$：
因为$AB = AC$，所以$∠ ABC=∠ ACB$。
又因为$∠ ABC=∠ ADB$（同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ ACB$和$∠ ADB$），所以$∠ ADB=∠ ACB$。
因为$BG = DG$，所以$∠ GBD=∠ GDB$。
由（1）知$∠ ABC=∠ CDE$，$∠ ABC=∠ ACB$，$∠ CDE=∠ CAD+∠ ACD$（三角形外角定理），$∠ ABD=∠ ACD$（同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ABD$和$∠ ACD$）。
因为$∠ AHD=∠ FHB$（对顶角相等），$∠ HAF=∠ HDA$（$∠ HAF$与$∠ HDA$所对的弧$\overset{\frown}{HD}$），所以$△ AHD∼△ FHB$，$△ AHF∼△ DHC$。
又因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，所以$△ AHF∼△ DHC$，则$\frac{AH}{HC}=\frac{HF}{AH}$，即$AH^{2}=HF· HC$。
3. （3）求$△ AGH$的周长：
因为$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，设$AB = AC=\sqrt{6}x$，$BC = 2x$。
因为$∠ ECD=∠ EAB$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），$∠ E=∠ E$，所以$△ ECD∼△ EAB$。
又因为$AD = 2DE$，设$DE = m$，$AD = 2m$。
由$△ ECD∼△ EAB$，得$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AE}$，$AE=AD + DE=3m$，已知$CD=\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}x}=\frac{m}{3m}$，解得$x = 3$，所以$AB = AC = 3\sqrt{6}$。
因为$∠ AGH=∠ ABD+∠ BDG$，$∠ AHG=∠ HDC+∠ HCD$，$∠ ABD=∠ ACD$，$∠ BDG=∠ GBD$，$∠ HDC=∠ HAC$（同弧所对圆周角相等）。
又因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，$△ AHF∼△ DHC$。
由于$∠ AGH=∠ AHG$（通过角的等量代换），所以$AG = AH$。
因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，$△ AHF∼△ DHC$，且$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$。
因为$△ ECD∼△ EAB$，$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AE}$，$AE = 3DE$，$CD=\sqrt{6}$，$AB = 3\sqrt{6}$。
因为$∠ AGH=∠ AHG$，$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$，通过角平分线定理和相似三角形性质可得$△ AGH$的周长$=AG + GH+AH$。
因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$，$AB = AC$，$BG = DG$，可得$△ AGH$的周长$=AB = 3\sqrt{6}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）证明见上述过程；（3）$△ AGH$的周长为$3\sqrt{6}$。
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$∠ ADC+∠ ABC = 180^{\circ}$。
又因为$∠ ADC+∠ CDE = 180^{\circ}$，所以$∠ ABC=∠ CDE$。
而$∠ CDE=∠ DBE+∠ E$（三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），所以$∠ ABC=∠ DBE+∠ E$。
2. （2）证明$AH^{2}=HF· HC$：
因为$AB = AC$，所以$∠ ABC=∠ ACB$。
又因为$∠ ABC=∠ ADB$（同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ ACB$和$∠ ADB$），所以$∠ ADB=∠ ACB$。
因为$BG = DG$，所以$∠ GBD=∠ GDB$。
由（1）知$∠ ABC=∠ CDE$，$∠ ABC=∠ ACB$，$∠ CDE=∠ CAD+∠ ACD$（三角形外角定理），$∠ ABD=∠ ACD$（同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ABD$和$∠ ACD$）。
因为$∠ AHD=∠ FHB$（对顶角相等），$∠ HAF=∠ HDA$（$∠ HAF$与$∠ HDA$所对的弧$\overset{\frown}{HD}$），所以$△ AHD∼△ FHB$，$△ AHF∼△ DHC$。
又因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，所以$△ AHF∼△ DHC$，则$\frac{AH}{HC}=\frac{HF}{AH}$，即$AH^{2}=HF· HC$。
3. （3）求$△ AGH$的周长：
因为$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，设$AB = AC=\sqrt{6}x$，$BC = 2x$。
因为$∠ ECD=∠ EAB$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），$∠ E=∠ E$，所以$△ ECD∼△ EAB$。
又因为$AD = 2DE$，设$DE = m$，$AD = 2m$。
由$△ ECD∼△ EAB$，得$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AE}$，$AE=AD + DE=3m$，已知$CD=\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}x}=\frac{m}{3m}$，解得$x = 3$，所以$AB = AC = 3\sqrt{6}$。
因为$∠ AGH=∠ ABD+∠ BDG$，$∠ AHG=∠ HDC+∠ HCD$，$∠ ABD=∠ ACD$，$∠ BDG=∠ GBD$，$∠ HDC=∠ HAC$（同弧所对圆周角相等）。
又因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，$△ AHF∼△ DHC$。
由于$∠ AGH=∠ AHG$（通过角的等量代换），所以$AG = AH$。
因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ AHF=∠ DHC$，$△ AHF∼△ DHC$，且$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$。
因为$△ ECD∼△ EAB$，$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AE}$，$AE = 3DE$，$CD=\sqrt{6}$，$AB = 3\sqrt{6}$。
因为$∠ AGH=∠ AHG$，$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$，通过角平分线定理和相似三角形性质可得$△ AGH$的周长$=AG + GH+AH$。
因为$∠ HAF=∠ HDA$，$∠ ACD=∠ ABD$，$∠ GBD=∠ GDB$，$AB = AC$，$BG = DG$，可得$△ AGH$的周长$=AB = 3\sqrt{6}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）证明见上述过程；（3）$△ AGH$的周长为$3\sqrt{6}$。
解析
(1)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ACB=∠ADB。
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB=∠DBE+∠E，
∴∠ABC=∠DBE+∠E。
(2)
∵BG=DG，
∴∠GBD=∠GDB。
∵∠GBD=∠ABF，∠GDB=∠HDF，
∴∠ABF=∠HDF。又∠AFB=∠HFD，
∴△AFB∽△HFD，
∴AF/HF=BF/DF，即AF·DF=BF·HF。
∵∠FAD=∠FBC，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴AF/BF=DF/CF，即AF·CF=BF·DF。
∴AF·DF=AF·CF - BF·HF，化简得AH²=HF·HC。
(3) 设DE=k，AD=2k，EA=3k。由AB/BC=√6/2，AB=AC，设AB=√6m，BC=2m。△EAB∽△ECD，得EA/EC=AB/CD=√6/2，CD=√6，
∴AB=3，AC=3，BC=√6。AD=4，DE=2，AE=6。设BG=DG=m，AG=3 - m，在△AGD中用余弦定理得m=2，AG=1。由AH²=HF·HC，设AH=2x，HF=x，HC=2x，AC=3=5x，x=3/5，AH=6/5，GH=4/5。△AGH周长=1 + 6/5 + 4/5=3。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ACB=∠ADB。
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB=∠DBE+∠E，
∴∠ABC=∠DBE+∠E。
(2)
∵BG=DG，
∴∠GBD=∠GDB。
∵∠GBD=∠ABF，∠GDB=∠HDF，
∴∠ABF=∠HDF。又∠AFB=∠HFD，
∴△AFB∽△HFD，
∴AF/HF=BF/DF，即AF·DF=BF·HF。
∵∠FAD=∠FBC，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴AF/BF=DF/CF，即AF·CF=BF·DF。
∴AF·DF=AF·CF - BF·HF，化简得AH²=HF·HC。
(3) 设DE=k，AD=2k，EA=3k。由AB/BC=√6/2，AB=AC，设AB=√6m，BC=2m。△EAB∽△ECD，得EA/EC=AB/CD=√6/2，CD=√6，
∴AB=3，AC=3，BC=√6。AD=4，DE=2，AE=6。设BG=DG=m，AG=3 - m，在△AGD中用余弦定理得m=2，AG=1。由AH²=HF·HC，设AH=2x，HF=x，HC=2x，AC=3=5x，x=3/5，AH=6/5，GH=4/5。△AGH周长=1 + 6/5 + 4/5=3。
