8. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$均为锐角，且满足$(1 - \tan A)^{2} + \left|\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2}\right| = 0$，则$∠ C$的度数为。

$105^{\circ}$（填具体度数，本题答案以数字加角度符号形式呈现）

由于$(1 - \tan A)^{2} + \left|\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2}\right| = 0$，
根据非负数的性质，一个数的平方和绝对值都是非负数，非负数之和为$0$，那么这两个数都必须是$0$，
所以有：$1 - \tan A = 0$，$\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$（绝对值内的部分等于$0$），
解得：$\tan A = 1$，由特殊角的三角函数值知，当$∠ A$为锐角时，$\tan A = 1$对应的$∠ A = 45^{\circ}$；
$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，同样由特殊角的三角函数值知，当$∠ B$为锐角时，$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$对应的$∠ B = 30^{\circ}$；
根据三角形的内角和为$180^{\circ}$，有：$∠ C = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ}$。

9. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上的一点，过点$C$作$\odot O$的切线，交$BA$的延长线于点$P$，连接$AC$，$BC$。若$\sin B = \frac{1}{2}$，求证：$AC = AP$。

AC=AP

∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，sin B=AC/AB=1/2，∴∠B=30°，∠BAC=60°。
∵OA=OC（半径相等），∠BAC=60°，∴△OAC是等边三角形，AC=OA，∠AOC=60°。
∵CP是⊙O切线，∴OC⊥CP（切线垂直于过切点的半径），∠OCP=90°。
在Rt△OCP中，∠COP=∠AOC=60°，∴∠P=90°-60°=30°。
∵∠PAC=180°-∠BAC=120°（平角定义），
在△ACP中，∠ACP=180°-∠PAC-∠P=180°-120°-30°=30°，
∴∠P=∠ACP，∴AC=AP（等角对等边）。

10. 定义一种运算：$\sin(α + β) = \sinα\cosβ + \cosα\sinβ$，$\sin(α - β) = \sinα\cosβ - \cosα\sinβ$。例如：当$α = 45^{\circ}$，$β = 30^{\circ}$时，$\sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。利用此定义，求$\sin 15^{\circ}$的值。

（此处无选择题选项，若按常规答题，答案就为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，若非要按照要求格式，因无选项，可假设本题为求值题，无ABCD选项形式，若模拟选项形式，可自行设定如A选项为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ，则答案填A）

根据定义，$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})$，由$\sin(α - β) = \sinα\cosβ - \cosα\sinβ$，这里$α = 45^{\circ}$，$β = 30^{\circ}$。
已知$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$。
则$\sin15^{\circ}=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,0)$，$B(0, - \sqrt{3})$，点$C$在$x$轴上（位于点$A$右侧），连接$AB$，$BC$。若$\cos∠ ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$，求点$C$的坐标。

$(3,0)$

设点$C$的坐标为$(c,0)$，$c＞1$。
由$A(1,0)$，$B(0,-\sqrt{3})$，得$OA=1$，$OB=\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0+\sqrt{3})^2}=2$。
在$Rt△ ABO$中，$\cos∠ ABO=\frac{OB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$∠ ABO=30°$。
因为$\cos∠ ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ ABC=30°$。
由于$C$在$A$右侧，$∠ OBC=∠ ABO+∠ ABC=30°+30°=60°$。
在$Rt△ BOC$中，$\tan∠ OBC=\frac{OC}{OB}$，即$\tan60°=\frac{OC}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}=\frac{OC}{\sqrt{3}}$，解得$OC=3$。
故点$C$的坐标为$(3,0)$。

12. （2025 内蒙中考改编）如图，$AB$是$\odot O$的直径，半径$OC ⊥ AB$，垂足为$O$，$P$是$BA$延长线上一点，连接$CP$，交$\odot O$于点$D$，连接$AD$，且$∠ BAD = 75^{\circ}$。
（1）求$∠ C$的度数；
（2）过点$P$作$\odot O$的切线，切点为$E$，交$CO$的延长线于点$F$，求$\cos∠ OFP$的值。

（1）60°；（2）√3/3

（1）连接OD，∵AB是直径，OC⊥AB，∴∠AOC=90°。∠BAD=75°，由圆周角定理得弧BD=2∠BAD=150°，则弧AD=弧AB - 弧BD=180° - 150°=30°，∴圆心角∠AOD=30°。∠COD=∠AOC - ∠AOD=90° - 30°=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠C=60°。
（2）设⊙O半径为r，在Rt△POC中，∠POC=90°，∠OCP=60°，∴∠OPC=30°，OC=r，∴PO=OC/tan30°=r√3。过P作切线PE，OE⊥PE，OE=r。设F在CO延长线，PE交CO延长线于F，设F(0,f)，切线PE方程：y=k(x + √3 r)，由圆心到切线距离为r得k=-√2/2，切线方程y=-√2/2(x + √3 r)。令x=0得F(0,-√6 r/2)。在△OFP中，OF=√6 r/2，FP=3r/√2，OP=√3 r，由余弦定理得cos∠OFP=(OF² + FP² - OP²)/(2·OF·FP)=√3/3。