1. 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，下面是切割线定理证明的开头.
已知:如图①,点P为⊙O外一点,切线PA与圆相切于点A,割线PBC与圆相交于点B,C.
求证$:PA^2 = PB·PC.$
证明:连接AB,AC,BO,AO,∵ PA切⊙O于点A,∴ PA⊥AO,即∠PAB+∠BAO=90°.
阅读以上材料,完成下列问题.
(1)补充完成上面的证明过程；
(2)如图②,割线PDE与⊙O交于点D,E,且PB=BC=4,PE=7,求DE的长.

(1) 如题图①.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA.
∵ ∠OAB+∠OBA+∠O = 180°,
∴ 2∠OAB+∠O = 180°,
∴ ∠OAB + $\frac{1}{2}∠O = 90°$,
∴ ∠PAB = $\frac{1}{2}∠O$.
∵ ∠C = $\frac{1}{2}∠O$,
∴ ∠PAB = ∠C.又
∵ ∠P = ∠P,
∴ △PAB∽△PCA,
∴ $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$,
∴ $PA^2 = PB · PC$.
(2) 由(1)知 $PA^2 = PB · PC$,同理 $PA^2 = PD · PE$,
∴ PB · PC = PD · PE,
∴ $PD = \frac{PB · PC}{PE} = \frac{4×(4+4)}{7}=\frac{32}{7}$,
∴ $DE = PE-PD = 7-\frac{32}{7}=\frac{17}{7}$,
∴ DE 的长为 $\frac{17}{7}$.

2. (2026·凉山州中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD是$\odot O$的直径,连接AC交BD于点F,且$AC=BC$,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E.
(1)求证:DC平分$∠ BDE$;
(2)求证:CE是$\odot O$的切线;
(3)若$\odot O$的半径为5,$CE=4$,求DF的长.

2. (1)
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠ADC+∠ABC = 180°.
∵ ∠ADC+∠EDC = 180°,
∴ ∠EDC = ∠ABC.
∵ AC = BC,
∴ ∠BAC = ∠ABC,∠BDC = ∠BAC,
∴ ∠BDC = ∠EDC,
∴ DC 平分∠BDE.
(2) 连接 OC,如图,
∵ OC = OD,
∴ ∠ODC = ∠OCD,由(1)可知,∠ODC = ∠EDC,
∴ ∠OCD = ∠EDC,
∴ OC//DE.
∵ CE⊥DE,
∴ OC⊥CE.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ CE 是⊙O 的切线.

(3) 如图,过点 O 作 OG⊥AD 于点 G,由(2)可知,OC⊥CE,
∵ CE⊥AD,OG⊥AD,
∴ 四边形 OCEG 是矩形,
∴ OG = CE = 4.
∵ BD 是⊙O 的直径,
∴ BD = 2OD,∠BAD = 90°,即 BA⊥AD,
∴ OG//BA,
∴ △DGO∽△DAB,
∴ $\frac{OG}{BA}=\frac{DO}{DB}=\frac{DO}{2DO}=\frac{1}{2}$,
∴ BA = 2OG = 2×4 = 8.
∵ ⊙O 的半径为 5,即 OD = OC = OB = 5,
∴ BD = 2OD = 10. 在 Rt△ABD 中, $AD = \sqrt{BD^2-AB^2} = \sqrt{10^2-8^2}=6$,由(2)可知,OC//AD,
∴ △COF∽△ADF,
∴ $\frac{OC}{DA}=\frac{OF}{DF}$.
∵ OF = OD-DF = 5-DF,
∴ $\frac{5}{6}=\frac{5-DF}{DF}$,
∴ $DF=\frac{30}{11}$.