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4.正六边形可以进行密铺。中间有1个正六边形时，周围需要用6个正六边形把它围住。
(1)照这样的围法，围第3圈需要(
(2)围多少圈需要78个正六边形？
(1)照这样的围法，围第3圈需要(
18
)个正六边形，围第n圈需要(6n
)个正六边形。(2)围多少圈需要78个正六边形？
答案
4.(1) 18 6n
4.(2) 6n = 78
6n÷6 = 78÷6
n = 13
围 13 圈需要 78 个正六边形。
4.(2) 6n = 78
6n÷6 = 78÷6
n = 13
围 13 圈需要 78 个正六边形。
解析
【分析】
我们先从已知的围圈情况找数量规律：题目明确围第1圈需要6个正六边形，观察围2圈的图形，可算出第2圈需要12个正六边形。对比发现：第1圈数量=6×1，第2圈数量=6×2，也就是每一圈的正六边形数量都是圈数乘6。按照这个规律，第3圈的数量就是3乘6，第n圈就是n乘6。解决第（2）问时，已知需要的正六边形总数是78，根据得到的规律列等式求解就能得到圈数。
【解析】
(1) 观察规律：
围第1圈需要正六边形数量：$6 × 1 = 6$（个）
围第2圈需要正六边形数量：$6 × 2 = 12$（个）
所以围第3圈需要正六边形数量：$6 × 3 = 18$（个）
由此推出，围第$n$圈需要正六边形数量：$6n$个。
(2) 已知需要的正六边形总数为78个，根据规律列等式：
$6n = 78$
等式两边同时除以6：
$6n ÷ 6 = 78 ÷ 6$
解得：$n = 13$
【答案】
(1) 18；$6n$
(2) 围13圈需要78个正六边形。
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，解方程
【点评】
本题结合图形密铺的场景考查规律探究和简易方程的应用，需要学生具备观察、归纳数量关系的能力，找到每圈正六边形数量和圈数的对应关系是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
我们先从已知的围圈情况找数量规律：题目明确围第1圈需要6个正六边形，观察围2圈的图形，可算出第2圈需要12个正六边形。对比发现：第1圈数量=6×1，第2圈数量=6×2，也就是每一圈的正六边形数量都是圈数乘6。按照这个规律，第3圈的数量就是3乘6，第n圈就是n乘6。解决第（2）问时，已知需要的正六边形总数是78，根据得到的规律列等式求解就能得到圈数。
【解析】
(1) 观察规律：
围第1圈需要正六边形数量：$6 × 1 = 6$（个）
围第2圈需要正六边形数量：$6 × 2 = 12$（个）
所以围第3圈需要正六边形数量：$6 × 3 = 18$（个）
由此推出，围第$n$圈需要正六边形数量：$6n$个。
(2) 已知需要的正六边形总数为78个，根据规律列等式：
$6n = 78$
等式两边同时除以6：
$6n ÷ 6 = 78 ÷ 6$
解得：$n = 13$
【答案】
(1) 18；$6n$
(2) 围13圈需要78个正六边形。
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，解方程
【点评】
本题结合图形密铺的场景考查规律探究和简易方程的应用，需要学生具备观察、归纳数量关系的能力，找到每圈正六边形数量和圈数的对应关系是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
5.垃圾分类，能够减少垃圾填埋量，有效保护生态环境。某回收站垃圾分类回收标准如下表。
李奶奶往回收站送了5 kg塑料瓶和a kg旧报纸，得到了b元。
(1)a和b之间的关系可以怎样表示？
(2)当b=13.1时，李奶奶送了多少千克的旧报纸到回收站？
李奶奶往回收站送了5 kg塑料瓶和a kg旧报纸，得到了b元。
(1)a和b之间的关系可以怎样表示？
(2)当b=13.1时，李奶奶送了多少千克的旧报纸到回收站？
答案
5.(1) b = 1.2a + 6.5
5.(2) 1.2a + 6.5 = 13.1
1.2a + 6.5 - 6.5 = 13.1 - 6.5
1.2a = 6.6
1.2a ÷ 1.2 = 6.6 ÷ 1.2
a = 5.5
李奶奶送了 5.5 kg 旧报纸。
5.(2) 1.2a + 6.5 = 13.1
1.2a + 6.5 - 6.5 = 13.1 - 6.5
1.2a = 6.6
1.2a ÷ 1.2 = 6.6 ÷ 1.2
a = 5.5
李奶奶送了 5.5 kg 旧报纸。
解析
【分析】
(1) 要推导a和b的数量关系，需先分别算出旧报纸和塑料瓶的售卖总价，二者相加等于总收入b。首先对应表格找单价：旧报纸属于纸张类，单价1.20元/千克，a千克的总价为单价乘数量即1.2a元；塑料瓶属于塑料制品类，单价1.30元/千克，5千克的总价为$1.3×5=6.5$元，两类总价相加即为总钱数b，可直接列出关系式。
(2) 已知b的具体数值，将$b=13.1$代入第一问得到的关系式中，可得到仅含未知数a的简易方程，再根据等式的性质逐步解方程，即可求出a的数值，也就是旧报纸的质量。
【解析】
(1) 先计算5kg塑料瓶的总价：
塑料瓶对应塑料制品类单价1.30元/千克，总价=$1.30×5=6.5$（元）
a千克旧报纸属于纸张类，单价1.20元/千克，总价=$1.20×a=1.2a$（元）
总钱数b为两类废品总价之和，因此关系式为：$b=1.2a+6.5$
(2) 把$b=13.1$代入$b=1.2a+6.5$，得方程：
$1.2a + 6.5 = 13.1$
根据等式的性质，等式两边同时减去6.5：
$1.2a + 6.5 - 6.5 = 13.1 - 6.5$
计算得：$1.2a = 6.6$
等式两边同时除以1.2：
$1.2a ÷ 1.2 = 6.6 ÷ 1.2$
计算得：$a = 5.5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=1.2a+6.5}$
(2) 李奶奶送了$\boldsymbol{5.5}$千克的旧报纸到回收站。
【知识点】
用字母表示数，简易方程求解，单价数量总价关系
【点评】
本题结合垃圾分类的生活场景命题，既考察了学生梳理数量关系、用字母表示式子的能力，也考察了简易方程的计算能力，能够引导学生学会将数学知识应用到实际生活中解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导a和b的数量关系，需先分别算出旧报纸和塑料瓶的售卖总价，二者相加等于总收入b。首先对应表格找单价：旧报纸属于纸张类，单价1.20元/千克，a千克的总价为单价乘数量即1.2a元；塑料瓶属于塑料制品类，单价1.30元/千克，5千克的总价为$1.3×5=6.5$元，两类总价相加即为总钱数b，可直接列出关系式。
(2) 已知b的具体数值，将$b=13.1$代入第一问得到的关系式中，可得到仅含未知数a的简易方程，再根据等式的性质逐步解方程，即可求出a的数值，也就是旧报纸的质量。
【解析】
(1) 先计算5kg塑料瓶的总价：
塑料瓶对应塑料制品类单价1.30元/千克，总价=$1.30×5=6.5$（元）
a千克旧报纸属于纸张类，单价1.20元/千克，总价=$1.20×a=1.2a$（元）
总钱数b为两类废品总价之和，因此关系式为：$b=1.2a+6.5$
(2) 把$b=13.1$代入$b=1.2a+6.5$，得方程：
$1.2a + 6.5 = 13.1$
根据等式的性质，等式两边同时减去6.5：
$1.2a + 6.5 - 6.5 = 13.1 - 6.5$
计算得：$1.2a = 6.6$
等式两边同时除以1.2：
$1.2a ÷ 1.2 = 6.6 ÷ 1.2$
计算得：$a = 5.5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=1.2a+6.5}$
(2) 李奶奶送了$\boldsymbol{5.5}$千克的旧报纸到回收站。
【知识点】
用字母表示数，简易方程求解，单价数量总价关系
【点评】
本题结合垃圾分类的生活场景命题，既考察了学生梳理数量关系、用字母表示式子的能力，也考察了简易方程的计算能力，能够引导学生学会将数学知识应用到实际生活中解决问题。
【难度系数】
0.7
6.某历史兴趣小组组织历史知识竞答，共50道题。评分标准为：答对1题得3分，答错1题扣1分。已知小红在全部题目都作答的情况下，共得122分，其中答错了x道题。请问小红答对了多少道题？
答案
小红答对了 43 道题。
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：总共有50道题且全部作答，答对1题得3分，答错1题扣1分，最终总得分122分。我们可以先根据总题数，用含有x（答错的题数）的式子表示出答对的题数，再抓住“答对获得的总分减去答错扣掉的总分等于最终得分”这一核心等量关系列方程，先求出答错的题数，再计算答对的题数即可。
【解析】
解：已知答错了x道题，总题数为50道，则答对的题数为(50 - x)道。
根据得分规则列方程：
$\begin{aligned}3×(50 - x) - x &= 122\\150 - 3x - x &= 122\\150 - 4x &= 122\\4x &= 150 - 122\\4x &= 28\\x &=7\end{aligned}$
答对的题数为：$50 - 7 = 43$（道）
【答案】
小红答对了 43 道题。
【知识点】
列方程解应用题、简易方程计算、数量关系分析
【点评】
本题属于常见的得分类实际应用问题，解题的核心是准确找到得分、扣分与最终总分之间的等量关系，计算时要注意答错是倒扣分数，不要混淆加减规则。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目已知条件：总共有50道题且全部作答，答对1题得3分，答错1题扣1分，最终总得分122分。我们可以先根据总题数，用含有x（答错的题数）的式子表示出答对的题数，再抓住“答对获得的总分减去答错扣掉的总分等于最终得分”这一核心等量关系列方程，先求出答错的题数，再计算答对的题数即可。
【解析】
解：已知答错了x道题，总题数为50道，则答对的题数为(50 - x)道。
根据得分规则列方程：
$\begin{aligned}3×(50 - x) - x &= 122\\150 - 3x - x &= 122\\150 - 4x &= 122\\4x &= 150 - 122\\4x &= 28\\x &=7\end{aligned}$
答对的题数为：$50 - 7 = 43$（道）
【答案】
小红答对了 43 道题。
【知识点】
列方程解应用题、简易方程计算、数量关系分析
【点评】
本题属于常见的得分类实际应用问题，解题的核心是准确找到得分、扣分与最终总分之间的等量关系，计算时要注意答错是倒扣分数，不要混淆加减规则。
【难度系数】
0.7
