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例题解析
例1 如图 3-1-1,CD 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高,试推出下列各结论:
(1) $△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$;
(2) $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$; (3) $\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$; (4) $\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$;
(5) $AC^2 = AD · AB$; (6) $BC^2 = BD · AB$; (7) $CD^2 = AD · BD$.
说明:在题目条件下的结论(5)、(6)、(7)通常称作射影定理.
图 3-1-1
新课程学习指导
数学 九年级 上册 华东师大版
分析:由直角三角形的两个锐角互余可以得到 $∠ B = ∠ ACD, ∠ A = ∠ BCD$,由此可推出 $△ ABC ∽ △ ACD, △ ABC ∽ △ CBD$,即 $△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$,于是有如下关系:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{AD}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD}$, $\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC}$.
思考:将例1中的条件“CD 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高”变为“$∠ ACB = ∠ BDC$”,试判断上述结论哪些仍然成立,哪些不成立,并说明理由.
例1 如图 3-1-1,CD 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高,试推出下列各结论:
(1) $△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$;
(2) $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$; (3) $\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$; (4) $\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$;
(5) $AC^2 = AD · AB$; (6) $BC^2 = BD · AB$; (7) $CD^2 = AD · BD$.
说明:在题目条件下的结论(5)、(6)、(7)通常称作射影定理.
图 3-1-1
新课程学习指导
数学 九年级 上册 华东师大版
分析:由直角三角形的两个锐角互余可以得到 $∠ B = ∠ ACD, ∠ A = ∠ BCD$,由此可推出 $△ ABC ∽ △ ACD, △ ABC ∽ △ CBD$,即 $△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$,于是有如下关系:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{AD}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD}$, $\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC}$.
思考:将例1中的条件“CD 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高”变为“$∠ ACB = ∠ BDC$”,试判断上述结论哪些仍然成立,哪些不成立,并说明理由.
答案
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，可得∠ADC=∠CDB=90°，由直角三角形两锐角互余得∠B = ∠ACD，∠A = ∠BCD，结合公共角可证得△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，因此△ABC∽△ACD∽△CBD。
(2) 由△ABC∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$，得证。
(3) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$，得证。
(4) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$，得证。
(5) 由△ABC∽△ACD，对应边成比例交叉变形得$AC^2 = AD · AB$，得证。
(6) 由△ABC∽△CBD，对应边成比例交叉变形得$BC^2 = BD · AB$，得证。
(7) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例交叉变形得$CD^2 = AD · BD$，得证。
思考解答：条件变为∠ACB=∠BDC后，∠B为公共角，仅能推出△ABC∽△CBD，因此结论(1)中仅△ABC∽△CBD成立，△ACD与另外两个三角形不相似；结论(2)、(4)、(6)仍然成立，可由△ABC∽△CBD推导得到；结论(3)、(5)、(7)不成立，这三个结论需要△ACD与另外两个三角形相似才能推导，该条件下无法满足。
∵ ∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，可得∠ADC=∠CDB=90°，由直角三角形两锐角互余得∠B = ∠ACD，∠A = ∠BCD，结合公共角可证得△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，因此△ABC∽△ACD∽△CBD。
(2) 由△ABC∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$，得证。
(3) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$，得证。
(4) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例可得$\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$，得证。
(5) 由△ABC∽△ACD，对应边成比例交叉变形得$AC^2 = AD · AB$，得证。
(6) 由△ABC∽△CBD，对应边成比例交叉变形得$BC^2 = BD · AB$，得证。
(7) 由△ACD∽△CBD，对应边成比例交叉变形得$CD^2 = AD · BD$，得证。
思考解答：条件变为∠ACB=∠BDC后，∠B为公共角，仅能推出△ABC∽△CBD，因此结论(1)中仅△ABC∽△CBD成立，△ACD与另外两个三角形不相似；结论(2)、(4)、(6)仍然成立，可由△ABC∽△CBD推导得到；结论(3)、(5)、(7)不成立，这三个结论需要△ACD与另外两个三角形相似才能推导，该条件下无法满足。
解析
【分析】
解决本题首先从相似三角形的判定入手：原问题中，先利用直角三角形两锐角互余推导相等的锐角，结合公共角和直角相等，用“两角分别相等的两个三角形相似”证明三组三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例，对比例式变形即可得到待证的比例式和乘积式。思考部分的变式问题，需要先分析新条件下能得到的相等角，判断可证明的相似三角形，再对应判断原结论是否成立。
【解析】
原结论证明：
(1)
∵∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
由直角三角形两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，同理可得∠A=∠BCD。
在△ABC和△ACD中，∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD；
在△ABC和△CBD中，∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD；
因此$△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，交叉变形可得$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$。
(3) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，交叉变形可得$\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$。
(4) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，交叉变形可得$\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$。
(5) 由$△ ABC ∽ △ ACD$，对应边成比例得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘得$AC^2 = AD · AB$。
(6) 由$△ ABC ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BC}$，交叉相乘得$BC^2 = BD · AB$。
(7) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，交叉相乘得$CD^2 = AD · BD$。
思考解答：
条件变为$∠ ACB = ∠ BDC$后，∠B为△ABC和△CBD的公共角，结合$∠ ACB = ∠ BDC$可证$△ ABC ∽ △ CBD$，但无法推导△ACD与另外两个三角形存在两组相等的对应角，因此△ACD与其余两个三角形不相似：
结论(1)中仅$△ ABC ∽ △ CBD$成立；
结论(2)(4)(6)可由$△ ABC ∽ △ CBD$推导得到，仍然成立；
结论(3)(5)(7)依赖△ACD与其他三角形的相似关系，无法证明该相似关系，因此不成立。
【答案】
(1)~(7)证明成立；思考部分：结论(1)仅$△ ABC ∽ △ CBD$成立，结论(2)(4)(6)仍然成立，结论(3)(5)(7)不成立，理由见解析。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 射影定理
【点评】
本题是相似三角形在直角三角形中的典型应用，核心是通过角的等量关系证明相似，再利用相似的性质推导比例式和乘积式。解题时要注意结论成立的前提条件，当条件发生变化时需重新判断相似关系，不可直接套用原有结论。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从相似三角形的判定入手：原问题中，先利用直角三角形两锐角互余推导相等的锐角，结合公共角和直角相等，用“两角分别相等的两个三角形相似”证明三组三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例，对比例式变形即可得到待证的比例式和乘积式。思考部分的变式问题，需要先分析新条件下能得到的相等角，判断可证明的相似三角形，再对应判断原结论是否成立。
【解析】
原结论证明：
(1)
∵∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
由直角三角形两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，同理可得∠A=∠BCD。
在△ABC和△ACD中，∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD；
在△ABC和△CBD中，∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD；
因此$△ ABC ∽ △ ACD ∽ △ CBD$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，交叉变形可得$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$。
(3) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，交叉变形可得$\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BC}$。
(4) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，交叉变形可得$\frac{CD}{AC} = \frac{BD}{BC}$。
(5) 由$△ ABC ∽ △ ACD$，对应边成比例得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘得$AC^2 = AD · AB$。
(6) 由$△ ABC ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BC}$，交叉相乘得$BC^2 = BD · AB$。
(7) 由$△ ACD ∽ △ CBD$，对应边成比例得$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，交叉相乘得$CD^2 = AD · BD$。
思考解答：
条件变为$∠ ACB = ∠ BDC$后，∠B为△ABC和△CBD的公共角，结合$∠ ACB = ∠ BDC$可证$△ ABC ∽ △ CBD$，但无法推导△ACD与另外两个三角形存在两组相等的对应角，因此△ACD与其余两个三角形不相似：
结论(1)中仅$△ ABC ∽ △ CBD$成立；
结论(2)(4)(6)可由$△ ABC ∽ △ CBD$推导得到，仍然成立；
结论(3)(5)(7)依赖△ACD与其他三角形的相似关系，无法证明该相似关系，因此不成立。
【答案】
(1)~(7)证明成立；思考部分：结论(1)仅$△ ABC ∽ △ CBD$成立，结论(2)(4)(6)仍然成立，结论(3)(5)(7)不成立，理由见解析。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 射影定理
【点评】
本题是相似三角形在直角三角形中的典型应用，核心是通过角的等量关系证明相似，再利用相似的性质推导比例式和乘积式。解题时要注意结论成立的前提条件，当条件发生变化时需重新判断相似关系，不可直接套用原有结论。
【难度系数】
0.7
