19. 如图所示,在$△ ABC$中,点$O$是$AC$边上的一个动点,过点$O$作直线$MN// BC$,设$MN$交$∠ BCA$的平分线于点$E$,交$∠ BCA$的外角平分线于点$F$.
(1)试说明:$EO = FO$;
(2)当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形? 并说明理由.

解:(1)$\because MN// BC,\therefore ∠ OEC = ∠ BCE.$
由角平分线得$∠ OCE = ∠ BCE$,
$\therefore ∠ OEC = ∠ OCE,\therefore OE = OC.$
同理可得$OF = OC,\therefore EO = FO.$
(2)$\because CE,CF$分别是$∠ BCA$和$∠ ACD$的平分线,
$\therefore ∠ OCE + ∠ OCF = \dfrac{1}{2}( ∠ ACB + ∠ ACD) = \dfrac{1}{2} × 180° = 90°,$即$∠ ECF = 90°$,
$\therefore$ 还需四边形$AECF$是平行四边形.
又$\because OE = OF,\therefore$ 当点$O$运动到$AC$的中点时,$OA = OC$,此时四边形$AECF$是矩形.

20.某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如下表所示：

(1)若商场预计进货款为3 500元,则这两种台灯各购进多少盏?
(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯后获利最多?此时利润为多少元?

解:(1)设商场应购进A型台灯$x$盏,则购进B型台灯$(100 - x)$盏,根据题意得$30x + 50(100 - x) = 3\ 500$,解得$x = 75$,$\therefore 100 - x = 100 - 75 = 25$,
$\therefore$ 应购进A型台灯75盏,B型台灯25盏.
(2)设商场销售完这批台灯可获利$y$元,则$y = (45 - 30)x + (70 - 50)(100 - x) = 15x + 2\ 000 - 20x = -5x + 2\ 000$,即$y = -5x + 2\ 000$.
$\because$ B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,
$\therefore 100 - x ≤ 3x,\therefore x ≥ 25$.
$\because k = -5 ＜ 0,\therefore$ 当$x = 25$时,$y$取得最大值,最大值为$-5 × 25 + 2\ 000 = 1\ 875$(元),
$\therefore$ 商场购进A型台灯25盏,B型台灯75盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为1 875元.