【典例】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=√5,点P在AD上,点Q在BC上,且AP=CQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小值为.
思路点拨:连接BP,根据平行四边形的判定和性质,将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,然后根据“牧民饮马”问题的解决思路解决问题.
【解析】如下图,连接BP,

∵四边形ABCD为矩形,∴AD//BC,AD=BC,∠CBA=∠DAB=90°.
∵AP=CQ,∴AD−AP=BC−CQ,即DP=QB.
又DP//BQ,∴四边形DPBQ是平行四边形,
∴PB=DQ,∴PC+QD=PC+PB.
在BA的延长线上截取AE=AB=3,连接PE,CE,则PB=PE,
∴PC+PB=PC+PE≥CE.
∵BE=2AB=6,BC=AD=√5,∴CE=√(BE²+BC²)=√(6²+(√5)²)=√41,
∴PC+PB≥√41,即PC+PB的最小值为√41,
∴PC+QD的最小值为√41.
答案:√41

解：
连接BP，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，AD=BC，∠CBA=∠DAB=90°。
∵ AP=CQ，
∴ AD - AP = BC - CQ，即DP=QB。
又DP//BQ，
∴ 四边形DPBQ是平行四边形，
∴ PB=DQ，
∴ PC + QD = PC + PB。
在BA的延长线上截取AE=AB=3，连接PE，CE，由线段垂直平分线的性质得PB=PE，
∴ PC + PB = PC + PE ≥ CE。
∵ BE=2AB=6，BC=AD=√5，
∴ CE = √(BE² + BC²) = √(6² + (√5)²) = √41，
∴ PC + PB ≥ √41，即PC + PB的最小值为√41，
∴ PC + QD的最小值为√41。