1 如图,往底面半径为 5 dm 的圆柱形容器内装入一些水以后,若水面宽 $AB=8\ \mathrm{dm}$,求水的最大深度.

过点O作OH⊥AB于点H,交⊙O于点C,连接OA.
∴ AH=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$(dm).
∵ OA=5 dm,
∴ OH=$\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$(dm).
∴ HC=5-3=2(dm).
∴ 水的最大深度为 2 dm

【分析】
要解决这个问题，需将圆柱的底面看作圆，水面AB是圆的弦，水的最大深度是弦AB到圆最低点的距离。解题思路：①过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度；②结合圆的半径，用勾股定理求出圆心到弦AB的距离；③用半径减去该距离，即可得到水的最大深度。
【解析】
过点O作OH⊥AB于点H，交圆O于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此 $ AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4\ \mathrm{dm} $。
已知圆的半径 $ OA = 5\ \mathrm{dm} $，在 $ \mathrm{Rt}△ OAH $ 中，由勾股定理得：
$ OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\ \mathrm{dm} $。
因为OC是圆的半径，长度为5 dm，所以水的最大深度 $ HC = OC - OH = 5 - 3 = 2\ \mathrm{dm} $。
【答案】
2 dm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题是垂径定理与勾股定理结合的基础应用题，关键在于正确作出辅助线，利用垂径定理转化线段长度，再通过勾股定理计算，难度较低，属于圆的基础题型。
【难度系数】
0.7

2 如图, D E 为半圆的直径, 点 O 为圆心, $D E=6 \sqrt{2}$, 延长 D E 至点 A, 使得 $E A=\sqrt{2}$, 直线 A C 与半圆交于 B, C 两点, 且 $∠ D A C=45°$. 求:
(1) 弦 BC 的长;
(2) $△ A O C$ 的面积.

(1) 如图,过点O作OM⊥BC于点M,则BM=CM.
∵ 直径DE=6√2,
∴ OC=OD=OE=3√2.
∵ EA=√2,
∴ OA=OE+EA=4√2.
∵ ∠DAC=45°,
∴ ∠AOM=45°.
∴ OM=AM.
∴ OA=$\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{2}OM$.
∴ OM=4. 在Rt△COM中,OC=3√2,
∴ CM=$\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{2}$.
∴ BC=2CM=2√2
(2) 由(1)可知,CM=$\sqrt{2}$,OM=AM=4,
∴ AC=AM+CM=4+√2.
∴ $S_{△AOC}=\frac{1}{2}OM·AC=\frac{1}{2}×4×(4+\sqrt{2})=8+2\sqrt{2}$

【分析】
要解决本题，首先利用垂径定理，过圆心作弦BC的垂线，将BC转化为2倍的CM，只需计算CM即可；再结合已知条件求出圆的半径OC和线段OA的长度，利用∠DAC=45°得到等腰直角三角形OMA，求出OM的长度；最后在直角三角形COM中用勾股定理算出CM，进而得到BC的长。对于△AOC的面积，求出AC的长度后，以AC为底、OM为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 过点O作OM⊥BC于点M，根据垂径定理，得BM=CM，即BC=2CM。
已知直径DE=6√2，所以半径OC=OE=DE/2=3√2。
又EA=√2，所以OA=OE+EA=3√2 + √2=4√2。
因为∠DAC=45°，OM⊥AC，所以△OMA是等腰直角三角形，故OM=AM。
在Rt△OMA中，由勾股定理得：OA²=OM² + AM²=2OM²，因此OM=OA/√2=4√2/√2=4。
在Rt△COM中，OC=3√2，OM=4，由勾股定理得：
CM=√(OC² - OM²)=√[(3√2)² - 4²]=√(18 - 16)=√2，
所以BC=2CM=2×√2=2√2。
(2) 由(1)知，AM=OM=4，CM=√2，所以AC=AM + CM=4 + √2。
△AOC的面积S=1/2×AC×OM=1/2×(4 + √2)×4=8 + 2√2。
【答案】
(1) 弦BC的长为2√2；(2) △AOC的面积为8+2√2
【知识点】
垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心考查垂径定理、勾股定理的应用，辅助线（过圆心作弦的垂线）的构造是解题关键，难度适中，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

3 如图,AB 是$\odot O$的直径,C,D 是$\odot O$上的两点,连接 AC,CD,AD.若$∠ ADC=$$60°$,则$∠ BAC$的度数是（）

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

D

【分析】要解决本题，需利用圆周角定理和直径的性质推导角度关系：首先，同弧所对的圆周角相等，可得到与∠ADC相等的圆周角∠ABC；再结合直径所对的圆周角为直角，在直角三角形中通过两锐角互余计算∠BAC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴$∠ ACB=90°$。
又
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴$∠ ABC=∠ ADC=60°$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ BAC + ∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAC=90° - 60°=30°$。
【答案】D
【知识点】圆周角定理，直径的性质，直角三角形的性质
【点评】本题为圆的基础题型，核心考查圆周角定理的应用，通过同弧圆周角相等、直径的直角性质转化角度，解题思路清晰，是学生需掌握的基础题。
【难度系数】0.6

4 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径作$\odot O$,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$.
(1) 求证:$DB=DC$.
(2) 连接$BE$,记$∠ EBC$的度数为$α$,$\overset{\frown}{BE}$的度数为$β$. 探究$α$与$β$之间的数量关系.

(1) 如图,连接AD.
∵ AB 为⊙O的直径,
∴ ∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵ AB=AC,
∴ DB=DC
(2) 如图,连接OE.
∵ $\overset{\frown}{BE}$的度数为β,
∴ ∠BOE=β.
∴ ∠BAC=$\frac{1}{2}∠BOE=\frac{β}{2}$.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}(180°-\frac{β}{2})$.
∵ AB 为⊙O的直径,
∴ ∠AEB=90°.
∴ ∠ABE=90°-$\frac{β}{2}$.
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=$\frac{1}{2}(180°-\frac{β}{2})-(90°-\frac{β}{2})=\frac{β}{4}$,即 α=$\frac{β}{4}$.
∴ β=4α

【分析】
第(1)问：要证明DB=DC，已知AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接AD后可得AD⊥BC；又因为△ABC是等腰三角形（AB=AC），根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的中线，因此DB=DC。
第(2)问：探究α与β的关系，β是弧BE的度数，根据“弧的度数等于其所对圆心角的度数”，可得弧BE对应的圆心角∠BOE=β；再利用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，得∠BAC=β/2；结合AB=AC，可求出底角∠ABC；又AB是直径，故∠AEB=90°，进而求出∠ABE；最后通过∠EBC=∠ABC - ∠ABE，代入化简即可得到α与β的数量关系。
【解析】
(1) 如图，连接AD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC，
∴ AD是BC的中线，故DB=DC。
(2) 如图，连接OE。
∵ $\overset{\frown}{BE}$的度数为β，
∴ 弧BE所对的圆心角∠BOE=β，
∴ 同弧所对的圆周角∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOE=$\frac{β}{2}$。
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，底角∠ABC=$\frac{1}{2}(180° - ∠BAC)$=$\frac{1}{2}(180° - \frac{β}{2})$。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90°，即△ABE是直角三角形，
∴ ∠ABE=90° - ∠BAC=90° - $\frac{β}{2}$。
又
∵ ∠EBC=α=∠ABC - ∠ABE，
代入得：α=$\frac{1}{2}(180° - \frac{β}{2}) - (90° - \frac{β}{2})$
=$90° - \frac{β}{4} - 90° + \frac{β}{2}$
=$\frac{β}{4}$，即α=$\frac{β}{4}$，故β=4α。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) β=4α

【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆与等腰三角形的综合题，需通过添加辅助线结合圆的性质和等腰三角形性质推理，考查几何逻辑推导能力，属于中档几何题。
【难度系数】
0.5